Частотный отклик
Простая замена z на
, где
— нормированная частота, позволяет получить дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для определяемого ниже по (7.22) импульсного отклика, т. е. получить по передаточной функции частотный отклик линейного фильтра.
Чтобы показать это, разделим сначала
в (7.8) на
:
Отметим, что здесь
только для положительных
, поскольку
только для положительных
. Таким образом, любой каузальный рекурсивный фильтр эквивалентен каузальному нерекурсивному фильтру бесконечной длины. Из (7.3) и (7.9)
Соотношение (7.10) также описывает каузальный линейный фильтр.
Для нахождения частотного отклика фильтра, заданного в (7.10) множеством коэффициентов
предположим, что
является множеством отсчетов синусоиды с единичной амплитудой и некоторой заданной частотой
, и затем вычислим
При этом
Тогда в (7.10) имеем
Поскольку для получения синусоиды
синусоида
умножается на величину, стоящую в скобках, эта величина должна быть частотным откликом фильтра, т. е. определять коэффициент передачи и фазовый сдвиг на частоте
.
Но величину, стоящую в скобках, можно получить подстановкой в (7.8) или (7.9)
и вместо
. Поэтому для любого линейного фильтра типа фильтра, представленного на рис. 5.2, имем
Из (7.13) видно, что частотный отклик является периодической функцией
, поскольку
не изменяется при увеличении
на любую величину, кратную
. Более того, если вместо
подставить
то
Поскольку коэффициенты
являются действительными числами, имеем
Поэтому передаточная функция
определяется только для
. Эта частотная область называется интервалом Найквиста, причем частота
называется центральной частотой, а частота отсчетов
.
При необходимости записи
в (7.11) в виде функции времени, а не в виде зависимости от номера отсчета k полагаем
где Q — частота, рад/Гц; f — частота, Гц;
— временной шаг (интервал между отсчетами), с, так что в показателе экспоненты появляется величина
. Далее, на частоте
или 1/27 Гц, находится центральная частота, равная половине частоты отсчета.
Конкретный пример частотного отклика приведен на рис. 7.3. Здесь передаточная функция
Частотный отклик в этом случае
Амплитуда и фаза частотного отклика
называются коэффициентом передачи по амплитуде и фазовым сдвигом фильтра. Из (7.18) имеем
Рис. 7.3. Пример частотного отклика цифрового фильтра: а) схема фильтра; б) частотный отклик; в) полюса и нули на z-плоскости