Пример системы с двумя весовыми коэффициентами

В общем случае для решения характеристического уравнения (3.2) необходимо найти корни полинома степени L+1. Обычно для решения такой задачи требуется ЭВМ, и для нахождения собственных значений матриц пригодны различные известные алгоритмы [3, 6]. Для действительных симметрических матриц, аналогичных R, есть специальные алгоритмы [4].

В этом разделе анализируется случай с весовыми коэффициентами, когда характеристическое уравнение является квадратным, и поэтому решать его легко. Рассмотрим корреляционную матрицу входного сигнала, используемую в качестве примера в гл. 2, и вариант, для которого N = 6 в (2.22). В этом случае

Используя (3.2), получаем для собственных значений

Следовательно,

Собственные значения также легко найти при использовании (3.3) или (3.1):

Отметим, что поскольку, как и в (3.1), , матрицы коэффициентов в (3.21) и (3.22) являются особенными, т. е. значения коэффициентов q можно найти только в виде произвольных констант . Эти константы выбираем так, чтобы матрица Q в (3.12) и (3.13) была нормированной.

Таким образом,

и

Зная собственные значения и собственные векторы, можно теперь записать R в нормальной форме, т. е. в виде (3.5):

Следовательно,

Заметим, что все элементы матрицы и Q имеют свойства, рассмотренные в предыдущем разделе. Собственные векторы ортогональны, т. е. их скалярное произведение равно нулю:

Оба собственных значения являются действительными неотрицательными числами, a Q — ортонормированная, как и в (3.23), матрица, и .