Упражнения

1. Во многих рассуждениях этой и последующих глав используется алгебра матриц. Докажите, что для любых матриц А. В и С справедливы следующие простые соотношения:

а) в общем случае

б)

в)

г) если А — симметрическая матрица, то — также симметрическая -рица.

2. Начиная с равенства (2.13), приведите подробный вывод равенства (2.15).

3. Пусть в примере адаптивного линейного сумматора, приведенном рис. Тогда:

а) найдите оптимальный вектор весовых коэффициентов;

б) используя полученный в а) результат, запишите выражение для

в) используя полученный в б) результат и для схемы на рис. 2.6, докажите, что

4. Для схемы на рис. 2.6 определите весовые коэффициенты, для которых среднеквадратическое значение

а) при

б) при

5. Для примера на рис. 2.6 при найдите вектор градиента, ест а среднеквадратическое значение равно:

а) 2;

б) 4.

Почему для второго случая градиент выше?

6. Рассмотрим приведенную ниже схему адаптивного линейного сумматора с одним весовым коэффициентом. Предположим, что ключ S разомкнут и Найдите выражение для функции среднеквадратнческой ошибки. Начертите график этой функции.

7. Выполните упражнение 6 при условии, что ключ S замкнут.

8. Каково оптимальное значение для условий упражнения 6? Каково соответствующее ему минимальное значение среднсквадратнческой ошибки?

9. Пусть в схеме адаптивного линейного сумматора из упражнения 6 функции такие же, как в схеме на рис. 2.6, и W = 5. Полагая, что ключ S разомкнут, найдите:

а) выражение для (и начертите график этой функции);

б) оптимальное значение

в) минимальное значение

10. Выполните упражнение 9 при условии, что ключ 5 замкнут.

11. Полезно иметь некоторый навык вычисления корреляционных функций, аналогичных выведенным равенствам (2.20) и (2.21).

Рассмотрим приведенные ниже, непрерывные периодические сигналы. Предположим, что для каждого из сигналов берутся отсчеты в моменты времени таким образом, что для первых двух сигналов имеем точно отсчетов за период, а для третьего — отсчетов за период. Если отсчет попадает на точку разрыва сигнала, ему присваивается значение сигнала правее этой точки. Найдите:

а)

б)

в)

г)

д)

12. Используя пример из упражнения 11, покажите, что в общем случае автокорреляционная функция является четной функцией сдвига , а взаимокорреляционная функция не является.

13. Рассмотрим адаптивный линейный сумматор, схема которого приведена ниже. Предположим, что требуется минимизировать , а не , а также, что сигналы являются стационарными.

Получите выражение для Определите, является ли квадратичной функцией и является ли унимодальной функцией

Ответы к некоторым упражнениям

3. а) ; б)

4. а)

б)

5. а) ; б) ; в)

6.

7.

8.

13. а) ; б) нет; в) в общем случае нет.