Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Геометрическая интерпретация собственных векторов и собственных значенийСобственные векторы и собственные значения непосредственно связаны с некоторыми свойствами поверхности, образованной графиком функции ошибки Напомним, что Рассмотрим теперь системы только с двумя весовыми коэффициентами, т. е. некоторое трехмерное пространство. Затем можно сделать обобщение для пространств большей размерности или для двухмерного пространства в системе с одним весовым коэффициентом. Для случая с двумя весовыми коэффициентами функция g, аналогично примеру на рис. 2.5, описывает параболоид. Как показано на рис. 3.1, при сечении параболоида плоскостями, параллельными плоскости
Как показано на рис. 3.1, можно перейти от вектора W к новым координатам — компонентам вектора V, начало которых находится в центре концентрических эллипсов. Это начало координат соответствует координатам точки с минимальным значением СКО и в соответствии с (2.17)
Рис. 3.1. Эллипсы на плоскости Тогда (3.28) принимает вид
Выражение (3.30) описывает эллипс (или в общем случае гиперэллипс) с центром в начале координат Можно получить выражение для любой нормали эллипса, если полагать, что эллипс описывается функцией
(К этому результату можно прийти, если записать VTRV в виде двойной суммы и найти поочередно каждую производную.) Кроме того, любой вектор, проходящий через начало координат при
или
где V представляет собой главную ось. Этот результат имеет такой же вид, как соотношение (3.1), поэтому V должен быть собственным вектором матрицы R. Итак, собственные векторы корреляционной матрицы входного сигнала определяют главные оси сечений поверхности, образованной графиком функции ошибки (рабочей функции). Завершая геометрические преобразования, рассмотрим выражения для функции ошибки во всех трех системах координат. Из (2.28), (2.23) и (3.5)
Уравнения (3.33), (3.34) и (3.35) представляют собой функцию, выраженную соответственно в обычной и смещенной системах координат и в системе координат, образованной главными осями. Снова, как и в (3.31), вычислив градиент, можно видоизменить (3.35):
В отличие от (3.31) очевидно, что если только один компонент
Эти преобразования можно представить в примере на рис. 3.1. Важна также геометрическая интерпретация собственных значений матрицы R. Как видно из (3.36), градиент g относительно любой главной оси
а также
Таким образом, вторая производная функция В качестве простого примера, иллюстрирующего этот результат, рассмотрим систему с одним весовым коэффициентом, в которой функция становится параболой. Пусть
Здесь существует только одно измерение для вектора W, поэтому ось w, кроме того, является главной осью, а собственное значение
Таким образом, для одного весового коэффициента вторая производная параболы в любой точке равна
|
1 |
Оглавление
|