2.2. Стохастические процессы

Иногда имеет смысл считать конкретный -компонентный векторный временной ряд элементом набора векторных временных рядов, который возникает из некоторой случайной схемы. Мы можем обозначить такой набор рядов через где - случайная величина, принимающая значения в множестве . Если окажется измеримой функцией , то при каждом t является случайной величиной, и можно говорить о конечномерных распределениях. Они задаются следующим образом:

    (2.2.1)

Можно затем рассмотреть такие функционалы, как

    (2.2.2)

если выписанные интегралы существуют. Каждому значению, которое (в соответствии со своим вероятностным распределением) принимает , соответствует функция с фиксированным ; она будет именоваться реализацией, траекторией или выборочной функцией временного ряда.

Поскольку, вообще говоря, необязательно включать специальным аргументом в , мы будем далее писать вместо . Функция будет называться временным рядом, случайным процессом или случайной функцией.

Интересующийся читатель может найти изложение основ вероятностной теории временных рядов в книгах: Leadbetter (1967), Яглом (1952) или Doob (1953). Функция , определенная равенством (2.2.2), называется функцией среднего для временного ряда . Функция определенная согласно (2.2.4), называется (авто)ковариационной функцией , и функция введенная в (2.2.4), называется кросс-ковариационной функцией Функция существует тогда и только тогда, когда По неравенству Шварца

    (2.2.5)

и существует, если Функция

называется (автокорреляционной функцией Наконец,

называется кросс-корреляционной функцией

Говорят, что ряды ортогональны, если для всех