7.7. Дальнейшее развитие оценок спектра второго порядка

Начнем этот параграф исследованием асимптотического распределения состоятельной оценки матрицы спектральной плотности построенной по сглаженным данным -мерного ряда с функцией среднего значения Пусть функция сглаживания удовлетворяет условию 4.3.1 для . Будем анализировать набор сглаженных значений Предположим, что функция среднего для оценивается выражением

Пусть при ,

    (7.7.2)

Наша оценка для будет основана на преобразовании Фурье сглаженных значений, из которых вычитаются средние, а именно на

    (7.7.3)

где для

    (7.7.4)

Следуя обсуждению, приведенному в § 7.2, образуем периодограммы второго порядка

где

    (7.7.6)

Из (7.7.3) следует, что (7.7.5) можно переписать в виде

    (7.7.7)

где

    (7.7.8)

является оценкой кросс-ковариационной функции .

Пусть весовая функция , удовлетворяет условию . В данном случае, включающем произвольные функции сглаживания, мы не видим никаких преимуществ от осреднения периодограммы по частным значениям частот Поэтому рассмотрим оценку, включающую непрерывную весовую функцию

    (7.7.9)

где , а величины положительны и ограничены. Используя (7.7.7), можно выражение (7.7.9) переписать в виде

    (7.7.10)

где

    (7.7.11)

Мы будем считать, что для этой функции выполняется

Условие 7.7.1. Действительная функция ограничена, симметрична, и

    (7.7.12)

Как следует из упр. 3.10.7, оценку (7.7.10) можно вычислить, используя быстрое преобразование Фурье. Справедлива

Теорема 7.7.1. Пусть -мерный ряд удовлетворяет условию функция удовлетворяет условию 4.3.1 для и, кроме того, . Предположим, что удовлетворяет условию 7.7.1 для при . Тогда справедливы соотношения

    (7.7.13)

и

причем переменные асимптотически нормальны с приведенной выше ковариационной структурой.

Сравнение выражений (7.7.14) и (7.4.17) показывает, что асимптотически сглаживание приводит к появлению в выражении для предела дисперсии множителя

Этот множитель равен 1 в случае отсутствия сглаживания, т. е. для для других t. Если используется одна и та же функция для всех рядов, т. е. , множитель равен

Из неравенства Шварца следует, что этот множитель всегда больше или равен 1, так что использование сглаживания приводит к увеличению предела дисперсии. Можно надеяться, однако, что произойдет достаточное уменьшение смещения и оно будет компенсировать увеличение дисперсии. Справедливо

Следствие 7.7.1. Если соблюдаются условия теоремы 7.7.1 и при , то оценка является асимптотически несмещенной.

Исторически первая широко используемая оценка кросс спектра имела вид (7.7.10) [Goodman (1957), Rosenblatt (1959)], хотя сглаживание, как правило, не использовалось. Ее асимптотические свойства совпадали в основном со свойствами §. 7.4. Такое исследование провели Akaike, Yamanouchi (1962), Jenkins (1963а), Murthy (1963) и Granger (1964). Freiberger (1963) рассматривал приближения к этому распределению в случае двумерного гауссового ряда.

Обсуждение § 7.1 предлагает иной класс оценок спектра второго порядка Пусть ряд есть результат прохождения ряда через полосно-пропускающий фильтр с передаточной функцией при в противном случае; . Рассмотрим в качестве оценки для

    (7.7.17)

или среднее этих двух оценок. Для рассмотрим оценки

или среднее этих двух оценок. Такая процедура оцениваний позволяет нам провести исследование структуры ряда на медленную эволюцию во времени [Brillinger, Hatanaka (1969)]. Этот тип оценок рассматривали Blanc-Lapierre, Fortet (1953). Одним из способов преобразования рассматриваемых рядов является комплексная демодуляция; см. § 2.7 и Brillinger .

Оценки кросс-спектра от величин двумерного гауссовского ряда со средним 0 рассматривал Brillinger (1968). Было получено асимптотическое распределение оценки (7.7.10) без сглаживания.

В некоторых случаях может оказаться интересным, насколько может отклоняться как функция X и Т от своего математического ожидания. Начнем с изучения периодограмм второго порядка. В теореме 4.5.1 отмечалось, что в некоторых условиях регулярности для ряда с нулевым средним выполняется с вероятностью 1 неравенство

    (7.7.19)

Отсюда следует

Теорема 7.7.2. Пусть -мерный ряд с нулевым средним удовлетворяет условию 2.6.3, а функция удовлетворяет условию . Пусть задано выражением (7.2.5). Тогда

    (7.7.20)

выполняется с вероятностью 1 для .

Whittle (1959) определил вероятностные границы для периодограмм второго порядка, см также Walker (1965). Parthasarathy (1960) нашел границу вероятности 1 заданной ординаты периодограммы и показал, что такая выделенная ордината может расти как , а не как в (7.7.20). Прежде чем перейти к изучению поведения сформулируем условие, близкое по характеру к условию 2.6.3, относительно ряда

Условие 7.7.2. Пусть -мерный ряд , удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть для величин заданных выражением (2.6.7), выполняется

для z в некоторой окрестности 0. Внутреннее суммирование в производится по всем неразложимым разбиениям таблицы

    (7.7.22)

состоящим из элементов, .

В случае гауссовского процесса имеет место и (7.7.21) обращается в

    (7.7.23)

Этот ряд сходится при так что условие 7.7.1 выполняется в этом случае, если только выполнено условие 2.6.1. Справедлива

Теорема 7.7.3. Пусть -мерный ряд удовлетворяет условию удовлетворяет условию 4.3.1 для , удовлетворяет условию 7.7.1 и обращается в 0 для достаточно больших оценка определена формулой (7.7.10). Тогда для заданного

такого, что выполняется

    (7.7.24)

с вероятностью 1 для

Если то из теоремы 3.3.1 и выражения (7.7.13) следует соотношение

    (7.7.25)

так что с вероятностью 1 выполняется равенство

    (7.7.26)

в котором остаточные члены равномерны по k.

Как видно из теоремы 7.7.3, оценка в сильном смысле состоятельна. Как показали Woodroofe и Van Ness (1967), в некоторых условиях регулярности, включающих линейность процесса , по вероятности выполняется равенство

    (7.7.27)

Здесь рассматривается случай несглаженных данных. Они исследовали также предельное распределение максимального отклонения.

При более слабом условии 2.6.1 справедлив более грубый результат:

Теорема 7.7.4. Пусть -мерный векторный ряд , удовлетворяет условию 2.6.1, функция удовлетворяет условию 4.3.1. Предположим, что , удовлетворяет условию 7.7.1 и обращается в 0 для достаточно больших значений оценка задается формулой (7.7.10). Пусть . Тогда для любого имеет место сходимость по вероятности:

    (7.7.28)

Еслиу кроме того, для некоторого выполняется условие то событие (7.7.28) выполняется при с вероятностью 1.

В теореме 7.7.4 вместо множителя из равенства (7.7.27) использован несколько меньший множитель

Если мы желаем использовать оценку (7.4.5), и нас устраи вает максимум по дискретному множеству точек, то имеет месте]

Теорема 7.7.5. Пусть -мерный ряд , удовлетворяет условию удовлетво ряет условию 5.6.1, оценка определена формулой при Тогда любого при имеет место сходимость по вероятности:

    (7.7.29)

Если к тому же для некоторого то событие (7.7.29) выполняется при с вероятностью 1.

В § 5.8 мы обсуждали важность выполненной до построения спектральной оценки предварительной фильтрации. Выражение (7.7.13) еще раз подтверждает это. Математическое ожидание величины , вообще говоря, не совпадает с и является всего лишь взвешенным средним от с весом, сконцентрированным в окрестности точки А. Если имеет значительные всплески или впадины, то взвешенное среднее может Довольно сильно отличаться от . На практике часто случается, что кросс-спектры имеют большие значения, чем спектры мощности. Рассмотрим часто встречающуюся ситуацию, когда является по существу запаздывающей версией ряда например,

    (7.7.30)

t = 0, ±1, .... величины — постоянные и ряд ошибок ортогонален ряду Тогда кросс-спектр задается выражением

    (7.7.31)

Если выбрать должным образом v, то функция будет быстро менять знак при изменении А. Любое взвешенное среднее этой функции, такое же, как (7.7.13), будет близко к 0. Отсюда можно заключить, что между исследуемыми рядами нет никакой связи, в то время как на самом деле имеется сильная линейная связь. Akaike (1962 а, b) предполагал, что подобная ситуация возникает при рассмотрении ряда с запаздыванием приблизительно на v временных единиц. Другими словами, вместо исходного отрезка ряда анализируется ряд где v близко к v. Это — один из видов предварительной фильтрации.

Akaike предполагал, что на практике и может быть определено как запаздывание, при котором максимально. Если оцениваемое запаздывание хоть где-нибудь близко к v, оцениваемый кросс-спектр должен быть гораздо менее быстро меняющейся функцией.

В § 5.8 отмечалось, что фильтр, приводящий интересующий нас ряд к белому шуму, может быть подогнан по авторегрессионной схеме для этого временного ряда. Nettheim (1966) предложил подобную процедуру при оценках кросс-спектра. Осуществив подгонку модели

    (7.7.32)

методом наименьших квадратов, оценим кросс-спектр остатков и . В более общем случае -мерных рядов можно определить векторов , минимизирующих выражение

Затем, построив спектральную оценку (X) по ряду остатков

для оценим посредством

    (7.7.35)

где

    (7.7.36)

Обычно для интересующего нас ряда полезно, предложив на основании предварительных сведений статистическую модель, провести ее подгонку, а затехм вычислить спектральную оценку по ряду остатков.

В заключение обратим внимание на связанную с подменой частот сложность, встретившуюся в § 5.11. Заметим, что теоретический параметр и его оценки обладают свойствами и периодичности, и симметрии:

    (7.7.37)

Это приводит к тому, что популяционный параметр и его оценки по существу совпадают для частот

    (7.7.38)

(см. скан)

Рис. 7.8.1. Оценка для сезонно приведенного ряда среднемесячных температур Берлина за 1780-1950 гг. с осреднением по 21 ординате периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 7.8.2. Оценка для сезонно приведенного ряда среднемесячных температур Вены за 1780-1950 гг. с осреднением по 21 ординате периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

Если это возможно, то предварительно ряд подвергают преобразованию с помощью полосно-пропускающего фильтра для устранения тех частотных компонент, которые могут при интерпретации спектральной оценки стать причиной путаницы.