3.7. Комплексные матрицы и их экстремальные значения

Переходя к рассмотрению матриц с комплексными элементами, заметим, что примером такой матрицы является матрица спектральной плотности, введенная в § 2.5. Начнем с нескольких определений. Если — матрица размера у которой на пересечении строки и столбца стоит комплексное число то обозначим через матрицу, состоящую из элементов, комплексно-сопряженных к соответствующим элементам матрицы Z. Пусть — матрица, транспонированная к Z. Говорят, что Z — эрмитова матрица, если Эрмитова матрица Z размера называется неотрицательно определенной, если

для всех комплексных чисел . Квадратная матрица Z называется унитарной, если или, что эквивалентно, где - единичная матрица. Комплексное число называется собственным значением или характеристическим

числом если

    (3.7.2)

где I — единичная матрица той же размерности, что и Z. Поскольку является полиномом от порядка J, уравнение (3.7.2) имеет не более J различных корней. Для любого собственного значения всегда существует -компонентный вектор а, такой, что

    (3.7.3)

Это — классический результат [MacDaffee(1946)]. Такой вектор а называется собственным вектором матрицы Z. Если - эрмитова матрица, то все ее собствённые значения действительны [MacDaffee (1946)]. Упорядочив собственные значения в порядке возрастания, обозначим из них через или , а соответствующий собственный вектор через а, или . Набор собственных чисел квадратной матрицы называется ее спектром. Кратко обсудим связь между спектром матрицы и ранее определенным спектром второго порядка стационарного ряда.

Заметим, что для каждой матрицы Z матрицы всегда будут эрмитовыми и неотрицательно определенными. Согласно теореме 2.5.1, если - векторный стационарный ряд с компонентами, имеющий абсолютно суммируемую ковариационную функцию, то матрица его спектральной плотности является эрмитовой и неотрицательно определенной. Отметим, что если

    (3.7.4)

— матрица дискретного преобразования Фурье, рассмотренного в § 3.4, то матрица будет унитарной. Ее собственные значения приведены в упр. 3.10.12.

В ряде случаев оказывается полезным сводить вычисления, связанные с комплексными матрицами, к вычислениям, вовлекающим только действительные матрицы. Приводимая ниже лемма 3.7.1 устанавливает важный изоморфизм между комплексными и действительными матрицами. Предварительно для матрицы с элементами введем следующие обозначения:

Лемма 3.7.1. Каждой комплексной -матрице Z соответствует действительная -матрица такая, что

(v) если Z эрмитова, симметрична,

(vi) если Z унитарна, ортогональна,

(vii) если собственными значениями и собственными векторами матрицы Z будут соответственно , то для матрицы ZR собственными значениями и векторами будут соответственно

Подразумевается, что все складываемые и перемножаемые матрицы имеют подходящие размеры.

Действительно, соответствие между матрицами, о котором идет речь, может быть задано следующим образом:

Оно рассматривалось в работах: Wedderburn (1934), Lanczos (1956), Bellman (1960), Brenner (1961), Good (1963), Goodman (1963). Это - соответствие чрезвычайно полезно при вычислениях с комплексными матрицами. Однако Ehrlich (1970) указывает, что в некоторых случаях удобнее иметь дело непосредственно с комплексными матрицами.

Собственные векторы и собственные значения играют важную роль, когда мы представляем матрицы с помощью более элементарных матриц. Для эрмитовых матриц верна

Теорема 3.7.1. Если Н является эрмитовой -матрицей, то

    (3.7.8)

где — это собственное значение - соответствующий собственный вектор.

Следствие 3.7.1. Эрмитова -матрица Н может быть записана в виде , где , а матрица

унитарна. Если к тому же Н—неотрицательно определенная матрица, то .

Приведенная теорема иногда называется спектральной теоремой. Для матриц произвольных размеров справедлива

Теорема 3.7.2. Для -матрицы Z имеет место представление

    (3.7.9)

где есть собственное значение матрицы (или матрицы ), и, есть собственный вектор матрицы - есть собственный вектор матрицы ; при этом

Следствие 3.7.2. Каждая -матрица Z может быть записана в виде , где -матрица диагональна, -матрица и -матрица также унитарна.

Эту теорему установил Autonne (1915). Структурные теоремы для матриц обсуждаются в книгах: Wedderburn (1934) и Ниа (1963), см. также Schwerdtfeger (1960). Представление называется разложением Z по сингулярным значениям. Программа вычисления такого представления на ЭВМ приведена в работе Businger, Golub (1969).

С точки зрения анализа временных рядов важный класс матриц представляют конечные теплицевы матрицы. Говорят, что является конечной теплицевой матрицей, если ее элементы зависят только от для некоторой функции . Эти матрицы рассмотрены в работе Widom (1965), где можно найти дальнейшие ссылки. При изучении временных рядов конечные теплицевы матрицы важны по следующей причине. Если - действительный стационарный ряд с автоковариационной функцией то ковариационная матрица отрезка этого ряда является конечной теплицевой матрицей с элементами стоящими на пересечении строки и столбца.

Иногда нас будут интересовать собственные значения и собственные векторы ковариационной матрицы для где — стационарный ряд. Имеются различные результаты об аппроксимации этих величин при больших Т. Перед тем как привести некоторые из них введем важный подкласс конечных теплицевых матриц. Квадратная теплицева матрица называется циклической порядка Т, если для некоторой

периодической функции с периодом Г, т. е.

    (3.7.10)

Используя это понятие, сформулируем теорему.

Теорема 3.7.3. Пусть является циклической Т-матрицей, тогда ее собственные значения задаются выражениями

    (3.7.11)

Им соответствуют собственные векторы

    (3.7.12)

Как видно, собственные значения представляют собой дискретное преобразование Фурье последовательности

Матрица, составленная из собственных векторов, пропорциональна матрице из § 3.4. Теорему 3.7.3 можно найти в работах: Aitken (1954), Schoenberg (1950), Hamburger, Grimshaw (1951, стр. 94), Good (1950), Whittle (1951).

Теперь вернемся к рассмотрению квадратных конечных теплицевых матриц общего вида . Пусть Z — соответствующая циклическая матрица, у которой элемент первой строки равен при этом мы считаем с . Согласно теореме 3.7.3, собственными значениями Z будут числа

    (3.7.13)

Этот набор чисел образует дискретное преобразование Фурье от Пусть обозначает -матрицу, столбцами которой являются векторы, определяемые формулой (3.7.12), и пусть обозначает диагональную матрицу

с элементами . Тогда

    (3.7.14)

и можно рассматривать приближение С с помощью . Имеет место следующая оценка разности:

    (3.7.15)

Эта оценка может быть использована для получения оценок разностей между собственными числами и между собственными векторами матриц С и Z. Например, согласно теореме Вейланда-Гофмана [Wilkinson (1965)], существует такая нумерация собственных значений матрицы С, что

    (3.7.16)

Если

    (3.7.17)

то распределение собственных значений матрицы С при стремится к дискретному преобразованию Фурье от . Большое количество результатов такого характера можно найти в книге Grenander, Szego (1958); см. упр. 3.10.14. Результаты такого типа указывают связь между спектром мощности стационарного временного ряда (этот, спектр определяется как преобразование Фурье автоковариационной функции ряда) и спектром (т. е. набором собственных значений) ковариационных матриц, отвечающих длинным отрезкам этого ряда. Мы вернемся к этому вопросу в § 4.7.

Относительно величины несовпадения собственных векторов С и Z можно рекомендовать работы Гавурина (1957) и Davis, Kahan (1969). Заметим, что приведенные выше результаты могут быть распространены на случай векторных рядов и на блоки теплицевых матриц, см. упр. 3.10.15.

Представление (3.7.9) играет важную роль при приближении одной матрицы с помощью другой, меньшего ранга. В этом направлении отметим следующую теорему.

Теорема 3.7.4. Пусть имеется -матрица Z. Среди всех -матриц к ранга минимум величинам

    (3.7.18)

доставляет матрица

    (3.7.19)

фигурирующие здесь те же, что и в теореме 3.7.2. При этом минимальное значение выражения (3.7.18) равно

Таким образом, мы построили А из слагаемых в сумме (3.7.9), соответствующих L наибольшим значениям Случай действительных симметричных Z и А разобран в работе Okamoto (1969).

Следствие 3.7.4. Указанный выше выбор А позволяет также минимизировать

    (3.7.20)

когда минимум ищется среди всех А ранга . Минимум этот равен

    (3.7.21)

Для действительных Z и А результаты, подобные этому следствию, имеются в работах: Eckart, Young (1936), Kramer, Mathews (1956), Rao (1965).