6.9. Доверительные области

Предложенные в этом параграфе доверительные области будут основываться на асимптотических распределениях, полученный в § 6.4. Их построение будет согласовываться с асимптотичес скими распределениями § 6.7.

Предположим, что оценки , исполь зующие весовую функцию W (а), построены так же, как в § 6.5 Сравнение асимптотических распределений, полученных для в теоремах 6.4.2 и 6.7.1, приводит к соотношению

Как следует из теоремы 6.7.1, распределение може быть аппроксимировано распределением

или

Что касается распределения то соответствующим аппроксимирующим распределением служит

и

Таким образом, -процентный доверительный интервал для дается выражением

в случае А и подобными выражениями в случаях В и С. Доверительный интервал для нетрудно получить, алгебраически из (6.9.6).

Если теперь обозначает диагональный элемент

и для введено обозначение , то, как следует из рассуждений § 6.2, -процентная доверительная область для может определяться, из неравенства

    (6.9.8)

Эту область рассматривали Akaike (1965), Groves, Hannan (1968). Если -процентные доверительные области требуются одновременно для всех , то можно воспользоваться результатом из упр. 6.14.17 и рассматривать область

Если положить

    (6.9.10)

то область (6.9.9) приближенно совпадает с областью

дающей совместную доверительную область для действительных амплитуд и фаз. Области в такой форме рассматривали Goodman (1965), Bendat, Piersol (1966). Точные процедуры, основывающиеся на (6.2.19) и (6.2.21), могут также быть использованы для построения доверительных интервалов отдельных . Они включают аппроксимацию распределения

    (6.9.12)

нецентральным -распределением со степенями свободы и параметром нецентральности , а также аппроксимацию распределения

    (6.9.13)

распределением с последующим нахождением границ интервалов алгебраическим путем.

Иногда может представлять интерес проверка гипотезы Она может проводиться с помощью аналогов статистик (6.2.9) и (6.2.10), а именно:

и

    (6.9.15)

В случае статистика (6.9.14) имеет асимптотическое -распределение; соответственно последняя статистика имеет вид

Обратимся теперь к задаче определения доверительных границ для элементов Подобно тому, как это делалось в § 6.8, вычислим статистику

    (6.9.17)

Пусть обозначает диагональный элемент Тогда теорема 6.8.4 в качестве приближенного -процентного доверительного интервала для предлагает

    (6.9.18)

Совместные доверительные области для могут быть построены с использованием неравенства Бонферрони; см. Miller (1966).