1.7. Упражнения

1.7.1. Докажите, что если — комплексная функция и при , то для некоторых см. Aczel (1969).

1.7.2. Докажите, что если -непрерывная комплексная функция и при то для некоторого а.

1.7.3. Докажите, что если — векторная функция с комплексными компонентами, такая, что где t, есть - матричная функция, то если , , причем . См. Doeblin (1938) и Kirchener (1967).

1.7.4. Пусть — абсолютно интегрируемая функция, удовлетворяющая условию

Пусть — ограниченная функция, непрерывная при Покажите, что и

1.7.5. Докажите, что для

1.7.6. Пусть — независимые случайные величины с Рассмотрим линейные комбинации Тогда Докажите, что минимизируется при выборе

1.7.7. Докажите, что сумма равна Т, если и равна 0 при других целых значениях

1.7.8. Докажите, что если X — действительная случайная величина с конечным вторым моментом и 0 — действительное число, то

1.7.9. Пусть обозначает пространство бесконечных в обе стороны последовательностей Пусть обозначает линейную операцию на для чисел а, и для которая инвариантна во времени если для некоторого и Докажите, что существует функция такая, что если

1.7.10. Рассмотрим последовательность ее частные суммы и средние в смысле Чезаро

Докажите, что если то при см. Кпорр (1948).

1.7.11. Пусть J — векторная случайная величина, где К — действительная величина, такая, что Докажите, что величина у которой минимизирующая задается формулой

1.7.12. Покажите, что для

и выведите отсюда, что

1.7.13. Покажите, что справедливо тождество

где (преобразование Абеля).

1.7.14. (а) Пусть функция , интегрируема и имеет интегрируемую производную Покажите, что

где обозначает целую часть числа у.

(b) Пусть обозначает производную функции Предположим, что интегрируема для Покажите, что

где обозначает полином Бернулли (Эйлер—Маклорен).