7.4. Состоятельные оценки матрицы спектральной плотности

Большинство оценок предыдущего параграфа не являлись состоятельными, т. е. в этих случаях не сходилась по вероятности к при . Эти оценки зависели, однако, от параметров ( или L), влияющих на их асимптотическую изменчивость. Можно надеяться, что те случаи, в которых эти параметры стремятся к бесконечности при позволяют получить состоятельные оценки. В этом параграфе мы убедимся, что это действительно верно. Такие результаты важны скорее для возможности аппроксимации моментов и распределения оценки при больших размерах выборок, чем для непосредственных предполагаемых вычислений.

Рассмотрим выборку ряда Вычислим дискретное преобразование Фурье

    (7.4.1)

тогда соответствующую периодограмму второго порядка дает выражение

    (7.4.2)

где Образуем оценку как взвешенное среднее этой статистики с весом, сконцентрированным в окрестности точки ширины где — параметр ширины окна, стремящийся к 0 при

Пусть весовая функция удовлетворяет соотношению

    (7.4.3)

и задана последовательность неотрицательных масштабных параметров . В качестве оценки для , рассмотрим

    (7.4.4)

Ввиду периодичности с периодом последнее равенство можно переписать в виде

    (7.4.5)

где

    (7.4.6)

Оценка (7.4.4) является, очевидно, взвешенной периодограммой, сосредоточенной в окрестности точки Я ширины . Позднее мы потребуем, чтобы при

В качестве оценки для рассмотрим

    (7.4.7)

В случае когда — четная функция, т. е. , эта оценка имеет те же свойства симметрии и периодичности, что и функция . Добавим также, что если матрица неотрицательно определена для всех а, то также неотрицательно определены; см. упр. 7.10.26. Справедлива

Теорема 7.4.1. Пусть задан -мерный векторный ряд со средним и ковариационной функцией Допустим,

что

    (7.4.8)

Если определена выражением (7.4.5) с функцией , удовлетворяющей условию 5.6.1, и , то для

Если, кроме того, выполняется условие

    (7.4.10)

то для , справедливо соотношение

    (7.4.11)

с равномерным по К остаточным членом.

Из выражений (7.4.9) и (7.4.11) видно, что математическое ожидание предлагаемой оценки является взвешенным средним функции с весом, сконцентрированным в полосе ширины около точки . В случае когда при оценка оказывается асимптотически несмещенной. Аналогично теореме 3.3.1 можно представить асимптотическое смещение оценки (7.4.5) в виде функции от . Таким образом, справедлива

Теорема 7.4.2. Пусть имеет ограниченные производные порядка Р. Предположим, что

    (7.4.12)

Если при , то для , справедливо

    (7.4.13)

При из приведенной выше теоремы вытекает соотношение,

    (7.4.14)

Как следует из выражения (7.4.13), с точки зрения уменьшения смещения оценки оказывается предпочтительным, чтобы функция была близка в окрестности X к константе, а величины были малыми. Следующая теорема показывает, что нельзя выбирать слишком малым, если требовать состоятельности оценки.

Теорема 7.4.3. Пусть -мерный ряд удовлетворяет условию , а функция удовлетворяет условию 5.6.1 . Если оценка определена выражением (7.4.5) и то для выполняется соотношение

    (7.4.15)

с равномерным по остаточным членом.

Как видно, при заданных функциях наибольшее значение ковариации достигается при . Средние

в выражении (7.4.15) сконцентрированы в полосе ширины около точки поэтому ковариации приближенно может быть представлена в виде

В пределе получаем

Следствие 7.4.3. Если выполнены условия теоремы 7.4.3 и при , то для —

Моменты второго порядка имеют, как нетрудно видеть, величину и, следовательно, стремятся к нулю, когда Мы уже видели, что оценка оказывается асимптотически несмещенной и в то же время состоятельной. Оценки, вычисленные при частотах асимптотически некоррелированны.

Первое выражение формулы (7.4.15) можно использовать для получения ковариации по большим выборкам в случае, когда . Пусть обращается в нуль для достаточно больших где s (Т) — целое. В таком случае оценка (7.4.4) для больших Т принимает вид

    (7.4.18)

При это же выражение дает оценка (7.3.2). Очевидно, в этом случае (7.4.16) приводит к следующей приближенной формуле для ковариации:

    (7.4.19)

Частный случай (7.4.19) был приведен в теореме 5.5.2.

Комбинируя выражения (7.4.17) и (7.4.14), можно для больших выборок и получить среднеквадратичное

отклонение

Как отмечается в упр. 7.10.30, порядок убывания должен быть если мы желаем минимизировать асимптотическое значение среднеквадратичного отклонения.

Для асимптотических распределений справедлива

Теорема 7.4.4. Если выполнены условия теоремы 7.4.1, условия 2.6.1 и при имеют асимптотически совместное нормальное распределение с ковариациями, заданными выражением (7.4.17).

Из выражения (7.4.17) следует, что оценки асимптотически независимы при . В случае оценка принимает действительные значения и ее предельное распределение будет действительным нормальным.

В § 7.3, исследуя оценку с осреднением по ординатам периодограмм, мы получили в пределе распределение Уишарта с степенями свободы. Этот результат полностью согласуется с результатом теоремы 7.4.4. Оценка (7.4.4) является по существу взвешенным средним ординат периодограммы частот окрестности точки X ширины . В данном случае таких ординат будет в противоположность ранее рассмотренным Распределение Уишарта приблизительно нормально при больших числах степеней свободы. Из предположения вытекает, что оба этих распределения по существу одинаковы. Предположим, что во всех оценках используется одна и та же весовая функция . Для сравнения выражений (7.4.16) и (7.3.13) удобно положить

    (7.4.21)

Образуя оценки по аналогии с формулами (7.4.4) или (7.4.18) и заменяя по формуле (7.4.21), мы получим их приближенные распределения в виде , если если . Асимптотическую

структуру моментов первого и второго порядка, а также совместное распределение состоятельных оценок спектра второго порядка рассматривал Rosenblatt (1959). Связь между асимптотической теорией и некоторыми эмпирическими аспектами изучал Parzen (1967с). Развитию асимптотического распределения спектральных оценок, основанных на сглаживании временных рядов, посвящен § 7.7.