ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

К главе 2

Доказательство теоремы 2.3.1. Следует непосредственно рассмотреть соответствующие коэффициенты ряда Тейлора и сравнить их с выражением (2.3.1).

Доказательство леммы 2.3.1. Начнем с необходимости условия. Если разбиение не будет неразложимым, то, согласно 2.3.5), разности будут порождать только величины и не существует способа получить при

Теперь о. достаточности условия. Предположим, что порождают

Но тогда любая пара множеств разбиения окажется сообщающейся, иначе не порождалась бы разность Тем самым показана неразложимость.

Продемонстрируем справедливость другой формулировки леммы. Если не выполнено свойство неразложимости разбиения, то, в силу (2.3.5), порождают лишь разности — и величины , получить нельзя.

С другой стороны, если порождают все величины то должна существовать некоторая последовательность множеств начинающаяся с i и кончающаяся Г; поэтому все множества сообщаются.

Доказательство теоремы 2.3.2. Проведем индукцию по Согласно теореме 2.3.1, имеем при каждом

где и суммирование ведется по всем разбиениям множества Кроме того,

где обозначают пары целых чисел и суммирование распространяется на все разбиения множества

Из видим, что

Здесь берется по всем разбиениям с . Тем самым в этом выражении члены, соответствующие разложимым разбиениям, будут вычитаться, откуда и вытекает утверждение.

Доказательство теоремы 2.5.1. Будем писать , подразумевая, что матрица А неотрицательно определенная. То обстоятельство, что - эрмитова матрица, следует из (2.5.7) и равенства .

Далее можно предположить, что Рассмотрим

По построению и тем самым . Математическое ожидание

представляет собой среднее Чезаро для ряда Из условий теоремы вытекает, что этот ряд сходится, поэтому из упр. 1.7.10 получаем, что

и, следовательно,

Доказательство теоремы 2.5.2. Пусть Рассмотрим

при По построению Далее введем

Заметим, что и Из получаем

при Последовательность

матричных мер заключена между Обобщение теоремы Хелли о выборе показывает, что эта последовательность содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой матричной мере. Обозначим через предел такой сходящейся подпоследовательности . Аппроксимируя интегралы конечными суммами, убеждаемся, что

Помимо этого, из следует, что предел семейства интегралов равен Отсюда получается (2.5.8).

Выражение (2.5.9) вытекает из обычной формулы обращения преобразования Фурье—Стилтьеса. Приращения по построению 0.

Доказательство леммы 2.7.1. Исйользуя свойства линейности и временной инвариантности, получаем

Полагая имеем

т. е. (2.7.6), где

Доказательство леммы 2.7.2. Указанные свойства — это стандартные результаты, относящиеся к преобразованию Фурье абсолютно суммируемых последовательностей; см., например, Zygmund (1968).

Доказательство леммы 2.7.3. Отметим, что

следовательно,

так что сумма конечна с вероятностью 1. Стационарность ряда вытекает из временной инвариантности операции.

Далее мы получим неравенства

завершающие доказательство.

Доказательство теоремы 2.7.1. Введем

для Суммирование слагаемых с обозначим символом . Тогда при найдется некоторая константа К, такая, что

Выражение справа стремится к 0 при согласно (2.7.23). Значит, последовательность является последовательностью Коши, и предел (2.7.25) существует в силу полноты.

Доказательство леммы 2.7.4. Обозначив

видим, что операции действительно линейны и инвариантны во времени. Полагая

убеждаемся в справедливости (2.7.34) и (2.7.35).

Доказательство теоремы 2.8.1. Векторный ряд с компонентами строго стационарен и имеет кумулянтные спектры , где - коэффициенты

-фильтра, такого, что По лемме 2.7.3 ряд тоже строго стационарен и существуют его кумулянтные функции Тогда

где

Поскольку абсолютно суммируемы, из теоремы Фубини вытекает абсолютная суммируемость ряда Следовательно,

Оправдано будет и изменение порядка усреднения и суммирования, позволяющее перейти от Теперь функция представима как сумма сверток абсолютно суммируемых функций, а потому сама абсолютно суммируема. Значит, ряд удовлетворяет условию 2.6.1. Выражение (2.8.1) мы получим, применив преобразование Фурье к кумулянтной функции ряда и воспользовавшись при этом тем, что рассматривается сумма сверток.

Доказательство леммы 2.9.1. Если - марковский гауссовский ряд, то не зависит Поэтому а так как где К — константа, то

Это показывает, что

Для завершения доказательства остается заметить, что

Доказательство теоремы 2.9.1. Начнем с того, что при сделанных предположениях существует с вероятностью 1, так как

Рассмотрим далее

Кумулянты, зависящие от значений X, согласно теореме 2.3.2, являются суммами произведений совместных кумулянтов величин . Суммы эти берутся по неразложимым разбиениям и имеют вид

Поскольку ряд стационарен, кумулянты зависят только от разностей . В силу леммы 2.3.1, среди разностей будет независимых. Пусть для определенности это Полагая мы видим теперь, что

где g — абсолютно суммируемая функция своих аргументов. Сделав замену переменных

убеждаемся, что кумулянты ряда абсолютно суммируемы.

Доказательство теоремы 2.10.1. Мы несколько предвосхитим дальнейшее изложение материала. В § 4.6 будет показано, что можно представить ряды в виде

где

Подстановка этих выражений в (2.9.15) показывает, что

Теперь, применив теорему 2.3.2 и воспользовавшись выписанными выражениями, получаем нужную нам формулу (2.10.10).