Выражение $\Delta V$ в прямоугольных координатах. Пусть три семейства поверхностей
\[
\xi(x, y, z)=\alpha, \quad \eta(x, y, z)=\beta, \quad \zeta(x, y, z)=\gamma
\]

образуют прямоугольную систему координат.
Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, грани которого составлены из шести следующих поверхностей:
\[
\begin{array}{ll}
\xi=\xi_{0}, & \xi=\xi_{0}+\delta \xi, \\
\eta=\eta_{0}, & \eta=\eta_{0}+\delta \eta, \\
\zeta=\zeta_{0}, & \zeta=\zeta_{0}+\delta \zeta .
\end{array}
\]

Ребра данного параллелепипеда составят отрезки
\[
a d \xi, \quad b d \eta, \quad c d \zeta .
\]

Диагональ ${ }^{1}$ равна
\[
d s^{2}=a^{2} d \xi^{2}+b^{2} d \eta^{2}+c^{2} d \zeta^{2} .
\]

Введем функцию $V(\xi, \eta, \zeta)$ и попытаемся определить значение интеграла
\[
\int \Delta V d \tau
\]

взятого по объему параллелепипеда. Он равен интегралу
\[
\int \frac{\partial V}{\partial n} d \sigma
\]

взятому по поверхности параллелепипеда.
${ }^{1}$ Точнее, квадрат диагонали.

Так как объем бесконечно мал, первый интеграл можно записать в виде
\[
\Delta V a b c d \xi d \eta d \zeta .
\]

Второй интеграл является суммой трех интегралов, каждый из которых взят по двум противоположным граням объема.
Для грани $\xi=\xi_{0}$,
\[
-\frac{\partial V}{a \partial \xi} b c d \eta d \zeta
\]

Для противоположной грани $\xi=\xi_{0}$,
\[
\left[\frac{b c}{a} \frac{\partial V}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{b c}{a} \frac{\partial V}{\partial \xi}\right) d \xi\right] d \eta d \zeta
\]

и, следовательно, для совокупности двух граней получим выражение
\[
\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{b c}{a} \frac{\partial V}{\partial \xi}\right) d \eta d \zeta d \xi
\]

Таким образом,
\[
\Delta V a b c d \xi d \eta d \zeta=d \xi d \eta d \zeta\left[\frac{\partial}{\partial \xi} \frac{b c}{a} \frac{\partial V}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \eta} \frac{c a}{b} \frac{\partial V}{\partial \eta}+\frac{\partial}{\partial \zeta} \frac{a b}{c} \frac{\partial V}{\partial \zeta}\right]
\]

и, наконец,
\[
\Delta V=\frac{1}{a b c} \sum \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{b c}{a} \frac{\partial V}{\partial \xi}\right) .
\]

То же в полярных координатах. Запишем для данной системы
\[
x=r \sin \theta \cos \varphi, \quad y=r \sin \theta \sin \varphi, \quad z=r \cos \theta .
\]

Положив $\cos \theta=\mu$, получим
\[
x=r \sqrt{1-\mu^{2}} \cos \varphi, \quad y=r \sqrt{1-\mu^{2}} \sin \varphi, \quad z=r \mu .
\]

Линейный элемент ${ }^{1}$ этой системы координат определяется следующим выражением:
\[
\begin{aligned}
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2} & =d r^{2}+r^{2} d \theta^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta d \varphi^{2}= \\
& =d r^{2}+r^{2} \frac{d \mu^{2}}{1-\mu^{2}}+r^{2}\left(1-\mu^{2}\right) d \varphi^{2} .
\end{aligned}
\]
${ }^{1}$ Опять же, квадрат линейного элемента.

Вместо $\xi, \eta, \zeta$ у нас есть $r, \mu, \varphi$. Для данной системы можно записать
\[
a=1, \quad b=\frac{r}{\sqrt{1-\mu^{2}}}, \quad c=r \sqrt{1-\mu^{2}}, \quad a b c=r^{2} .
\]

Теперь легко находим
\[
\Delta V=\frac{\partial^{2} V}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial V}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial \mu}\left[\left(1-\mu^{2}\right) \frac{\partial V}{\partial \mu}\right]+\frac{1}{r^{2}\left(1-\mu^{2}\right)} \frac{\partial^{2} V}{\partial \varphi^{2}} .
\]

Сферические полиномы. Сферические функции. Сферическим полиномом называется однородный полином от $x, y, z$, удовлетворяющий уравнению Лапласа $\Delta P=0$.

Если этот полином от $x, y, z$ имеет степень $n$, то он содержит $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ произвольных коэффициентов. Однако ввиду того, что $\Delta P_{n}=0$, количество соотношений между этими коэффициентами ограничено, а так как это выражение имеет степень $n-2$, то существует $n \frac{(n-1)}{2}$ соотношений между его коэффициентами.
Таким образом, остается
\[
\frac{(n+1)(n+2)}{2}-\frac{n(n-1)}{2}=2 n+1
\]

сферических полиномов, независимых от степени $n$.
Выразив $x, y, z$ в полярных координатах, получим
\[
P_{n}=r^{n} Y_{n},
\]

где $Y_{n}$ есть функция от $\varphi$ и $\mu$, которую мы назовем сферической функцией порядка $n$.
Очевидно имеет место соотношение
\[
r \frac{\partial P_{n}}{\partial r}=n P_{n}
\]

Рассмотрим теперь равенство (2), приведенное на стр. 11,
\[
\int_{S}\left(U \frac{\partial V}{\partial n}-V \frac{\partial U}{\partial n}\right) d \sigma=\int_{T}(U \Delta V-V \Delta U) d \tau .
\]

Предположим, что поверхность $S$ представляет собой сферу единичного радиуса, а $U$ и $V$ являются сферическими полиномами порядка $m$ и $n$. Тогда второй член будет равен нулю, и равенство запишется следующим образом:
\[
\int\left[P_{m} \frac{\partial P_{n}}{\partial r}-P_{n} \frac{\partial P_{m}}{\partial r}\right] d \sigma=0 .
\]

Откуда, учитывая равенство (1), получим
\[
(m-n) \int_{S} P_{m} P_{n} d \sigma=0 .
\]

Если $m$ не равно $n$,
\[
\int_{S} P_{m} P_{n} d \sigma=0,
\]

где интеграл берется по поверхности сферы единичного радиуса. Это же можно записать иначе:
\[
\int_{-1}^{+1} \int_{0}^{2 \pi} Y_{m} Y_{n} d \varphi d \mu=0 .
\]

Если $m=n$, то данный результат не верен.
Фундаментальные сферические функции. Очевидно, что верно следующее:
\[
\begin{array}{l}
x=r \sqrt{1-\mu^{2}} \cos \varphi=r \sqrt{1-\mu^{2}} \frac{e^{i \varphi}+e^{-i \varphi}}{2}, \\
y=r \sqrt{1-\mu^{2}} \sin \varphi=r \sqrt{1-\mu^{2}} \frac{e^{i \varphi}-e^{-i \varphi}}{2 i} .
\end{array}
\]

Заменив $x$ и $y$ в выражении для $P_{n}$ их значениями, получим
\[
P_{n}=\sum_{p=-n}^{p=n} r^{n} e^{i p \varphi} X_{n}^{p},
\]

где $X_{n}^{p}$ зависит только от $\mu$. Иначе, это полином от $\mu$ и от $\sqrt{1-\mu^{2}}$. Полиномы с четным $p$ содержат $\sqrt{1-\mu^{2}}$ только в четной степени, а полиномы с нечетным $p$ содержат $\sqrt{1-\mu^{2}}$ только в нечетной степени.

Таким образом, первые являются полиномами от $\mu$, а вторые полиномами от $\mu$, помноженного на $\sqrt{1-\mu^{2}}$.
Подставим значение $P$ в уравнение $\Delta P_{n}=0$.
Получим
\[
\sum\left[n(n+1) r^{n-2} e^{i p \varphi} X_{n}^{p}+r^{n-2} e^{i p \varphi} \frac{d}{d \mu}\left[\left(1-\mu^{2}\right) \frac{d X_{n}^{p}}{d \mu}\right]-\frac{X_{n}^{p} p^{2} r^{n-2} e^{i p \varphi}}{1-\mu^{2}}\right]=0 .
\]

Обратив в нуль коэффициент при $r^{n-2} e^{i p \varphi}$, получим уравнение, которому должен удовлетворять $X_{n}^{p}$. Это уравнение имеет вид
\[
\frac{d}{d \mu}\left[\left(1-\mu^{2}\right) \frac{d X_{n}^{p}}{d \mu}\right]-\frac{n(n+1)\left(\mu^{2}-1\right)+p^{2}}{1-\mu^{2}} X_{n}^{p}=0 .
\]

Общее решение этого уравнения есть трансцендентная функция, однако имеется одно частное решение, представляющее собой один из двух видов полиномов, подразумеваемых определением $X_{n}^{p}$, и определенное с точностью до некоторого постоянного множителя.

Очевидно, что $X_{n}^{p}$ и $X_{n}^{-p}$ удовлетворяют одному и тому же уравнению. Следовательно, можно записать
\[
X_{n}^{p}=A X_{n}^{-p},
\]

где $A$ – некоторая константа. Таким образом, существует последовательность из $2 n+1$ искомых сферических функций.
\[
\begin{array}{rllll}
X_{n}^{0}, & X_{n}^{1} e^{i \varphi}, & X_{n}^{2} e^{2 i \varphi}, \ldots, & X_{n}^{n} e^{n i \varphi}, \\
& X_{n}^{1} e^{-i \varphi}, & X_{n}^{2} e^{-2 i \varphi}, \ldots, & X_{n}^{n} e^{-n i \varphi}, \ldots,
\end{array}
\]

Можно записать $2 n+1$ этих независимых функций иначе:
\[
\begin{array}{rrrlll}
X_{n}^{0}, & X_{n}^{1} \cos \varphi, & X_{n}^{2} \cos 2 \varphi, & \ldots, & X_{n}^{n} \cos n \varphi, & \ldots, \\
X_{n}^{1} \sin \varphi, & X_{n}^{2} \sin 2 \varphi, & \ldots, & X_{n}^{n} \sin n \varphi, & \ldots,
\end{array}
\]

Таким образом, две сферические функции различаются либо значением $n$, либо $p$, либо, если $n=p$, тем, что одна из них содержит синус $p \varphi$, а другая – косинус $p \varphi$.
Ранее было доказано, что
\[
\int_{-1}^{+1} d \mu \int_{0}^{2 \pi} Y_{m} Y_{n} d \varphi=0,
\]

если $m
eq n$. Теперь завершим доказательство, показав, что интеграл
\[
\int_{-1}^{+1} d \mu \int_{0}^{2 \pi} Y Y^{\prime} d \varphi=0
\]

если $Y$ и $Y^{\prime}$ – две разные функции.
Достаточно произвести доказательство для случая двух функций одного порядка.
Следовательно, можно записать интеграл
\[
\int_{-1}^{+1} X_{n}^{p} X_{n}^{q} d \mu \int_{0}^{2 \pi} \cos p \varphi \cos q \varphi d \varphi
\]

или же
\[
\begin{array}{l}
\int_{-1}^{+1} X_{n}^{p} X_{n}^{q} d \mu \int_{0}^{2 \pi} \sin p \varphi \sin q \varphi d \varphi, \\
\int_{-1}^{+1} X_{n}^{p 2} d \mu \int_{0}^{2 \pi} \sin p \varphi \cos p \varphi d \varphi .
\end{array}
\]

Второй из трех интегралов равен нулю.
Наконец, очевидно, что интеграл
\[
\int_{-1}^{+1} d \mu \int_{0}^{2 \pi} Y^{2} d \varphi
\]

отличен от нуля.
Определение полиномов $X_{n}^{p}$. Найдем полином $X_{n}^{p}$, для чего рассмотрим сначала случай, когда $p=0$.
Запишем уравнение
\[
\frac{d}{d \mu}\left[\left(1-\mu^{2}\right) \frac{d X}{d \mu}\right]+n(n+1) X=0 .
\]

Это уравнение определяет полиномы Лежандра. Имеет место равенство
\[
X_{n}^{0}=\frac{d^{n}}{d \mu^{n}}\left(1-\mu^{2}\right)^{n} .
\]

Таким образом, $X_{n}^{0}(\cos \theta)$ есть сферическая функция, где $\theta$ представляет собой угол между некоторым направлением и осью $O z$.

Благодаря симметрии, функция $X_{n}^{0}(\cos \varepsilon)$, где $\varepsilon$ представляет собой угол между данным направлением и каким-либо другим фиксированным направлением, также будет сферической. Заметим, что при любых $\theta$ и $\theta^{\prime}$ выполняется равенство
\[
\cos \varepsilon=\cos \theta \cos \theta^{\prime}+\sin \theta \sin \theta^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right) .
\]

Отсюда, функция
\[
X_{n}^{0}\left[\cos \theta \cos \theta^{\prime}+\sin \theta \sin \theta^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)\right]
\]

также будет сферической.
Положим
\[
\sin \theta^{\prime} e^{-i \varphi^{\prime}}=2 \xi, \quad \sin \theta^{\prime} e^{i \varphi^{\prime}}=2 \eta .
\]

Отсюда, помножив оба равенства на $e^{i \varphi}$ и $e^{-i \varphi}$ соответственно и сложив их, получим
\[
\sin \theta^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)=\xi e^{i \varphi}+\eta e^{-i \varphi} .
\]

Перемножив равенства друг на друга, получим
\[
\sin ^{2} \theta^{\prime}=4 \xi \eta
\]

откуда
\[
\cos ^{2} \theta^{\prime}=1-4 \xi \eta .
\]

Следовательно, функция
\[
X_{n}^{0}\left[\sqrt{1-4 \xi \eta} \mu-\sqrt{1-\mu^{2}}\left(\xi e^{i \varphi}+\eta e^{-i \varphi}\right)\right]
\]

есть еще одна сферическая функция при любых $\xi$ и $\eta$.
В частности, если принять
\[
\xi=1, \quad \eta=0,
\]

то функция
\[
X_{n}\left[\mu+\sqrt{1-\mu^{2}} e^{i \varphi}\right]
\]

будет сферической.

Разложив ее по формуле Тэйлора, получим следующий полином:
\[
\begin{array}{l}
X_{n}\left[\mu+\sqrt{1-\mu^{2}} e^{i \varphi}\right]=X_{n}(\mu)+e^{i \varphi} \sqrt{1-\mu^{2}} \frac{d X_{n}}{d \mu}+\ldots+ \\
\frac{e^{i p \varphi}\left(1-\mu^{2}\right)^{\frac{p}{2}}}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot p} \frac{d^{p} X_{n}}{d \mu^{p}}+\ldots+\frac{e^{i n \varphi}\left(1-\mu^{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} \frac{d^{n} X_{n}}{d \mu^{n}} .
\end{array}
\]

Каждый член этой суммы представляет собой сферическую функцию.

Таким образом, функции $X_{n}^{p}$ определены с точностью до некоторого множителя.
\[
X_{n}^{p}=\left(1-\mu^{2}\right)^{\frac{p}{2}} \frac{d^{p} X_{n}^{0}(\mu)}{d \mu^{p}}=\left(1-\mu^{2}\right)^{\frac{p}{2}} \frac{d^{n+p}\left(1-\mu^{2}\right)^{n}}{d \mu^{n+p}} .
\]

Свойства сферических функций. Пусть $U-$ функция от $r$, а $P_{n}$ – сферический полином.
\[
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} .
\]

Вычислим значение $\Delta\left(U P_{n}\right)$
\[
\Delta\left(U P_{n}\right)=P_{n} \Delta U+2 \sum \frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial P_{n}}{\partial x}+U \Delta P_{n} ;
\]

но
\[
\begin{array}{c}
\Delta P_{n}=0 ; \quad \frac{\partial U}{\partial x}=\frac{d U}{d r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{d U}{d r} \cdot \frac{x}{r} \\
\Delta\left(U P_{n}\right)=P_{n}\left[\frac{d^{2} U}{d r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{d U}{d r}\right]+\frac{2}{r} \frac{d U}{d r}\left(x \frac{\partial P_{n}}{\partial x}+y \frac{\partial P_{n}}{\partial y}+z \frac{\partial P_{n}}{\partial z}\right)
\end{array}
\]

и, поскольку $P_{n}$ есть функция однородная,
\[
\Delta\left(U P_{n}\right)=P_{n}\left(\frac{d^{2} U}{d r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{d U}{d r}\right)+\frac{2 n}{r} P_{n} \frac{d U}{d r}=P_{n}\left[\frac{d^{2} U}{d r^{2}}+\frac{2(n+1)}{r} \frac{d U}{d r}\right] .
\]

Теперь вычислим значение $\Delta\left(U Y_{n}\right)$, которое равно
\[
\Delta\left[\frac{U}{r^{n}} \times P_{n}\right],
\]

так как $P_{n}=r^{n} Y_{n}$. Находим
\[
\begin{array}{l}
\Delta\left(U Y_{n}\right)=Y_{n}\left[\frac{1}{r^{n}} \frac{d^{2} U}{d r^{2}}+\frac{2}{r^{n+1}} \frac{d U}{d r}-\frac{n(n+1) U}{r^{n+2}}\right], \\
\Delta\left(U Y_{n}\right)=Y_{n}\left[\frac{d^{2} U}{d r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{d U}{d r}-\frac{n(n+1) U}{r^{2}}\right] .
\end{array}
\]

Сфероидальный слой. Применим вышеизложенные рассуждения к изучению сфероидальной массы жидкости, т.е. массы жидкости, фигура равновесия которой мало отличается от сферы, или, точнее, массы жидкости, поверхность которой заключена между двумя сферами близких радиусов. Сфероидальным слоем назовем слой, заключенный между двумя сфероидальными поверхностями.
Рис. 7
Действие сфероидального слоя. Пусть $d \sigma$ – элемент поверхности сфероидального слоя единичного радиуса, $\varepsilon$ – толщина сфероидального слоя, а $d \tau$ – элемент объема этого слоя (рис. 7). Тогда
\[
d \tau=\varepsilon d \sigma .
\]

Можно предположить, что масса элемента объема $d \tau$ тождественна массе, распределенной на элементе поверхности $d \sigma$, и равна $\mu d \sigma$. Возьмем некоторую точку $M$, чьи декартовы координаты равны $(x, y, z)$, а сферические –
\[
r, \mu=\cos \theta, \varphi .
\]

Возьмем также точку $M^{\prime}$, чьи координаты соответственно равны $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ и $\left(r^{\prime}=1, \mu^{\prime}=\cos \theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)$.
Расстояние $M M^{\prime}$ равно $1+r^{2}-2 r \cos \left(O M, O M^{\prime}\right){ }^{1}$
\[
\cos \gamma=\cos \left(O M, O M^{\prime}\right)=\cos \theta \cos \theta^{\prime}+\sin \theta \sin \theta^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right) .
\]

Разложение $\frac{1}{M \boldsymbol{M}^{\prime}}$ в ряд. Потенциал, создаваемый сфероидальным слоем в точке $M$, равен
\[
V=\int \frac{\varepsilon^{\prime} d \sigma^{\prime}}{M M^{\prime}},
\]

где $\varepsilon^{\prime}$ – функция от $\mu$ и $\varphi, r<1$.
${ }^{1}$ Речь идет, конечно же, о квадрате расстояния.

Сферические функции
51
Ho
\[
\begin{aligned}
M M^{\prime 2} & =1-2 r \cos \gamma+r^{2}=\left(1-r e^{i \gamma}\right)\left(1-r e^{-i \gamma}\right) \\
\frac{1}{M M^{\prime}} & =\left(1-r e^{i \gamma}\right)^{-\frac{1}{2}}\left(1-r e^{-i \gamma}\right)^{-\frac{1}{2}}
\end{aligned}
\]

Известно, что
\[
\begin{aligned}
\left(1-r e^{i \gamma}\right)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2} r e^{i \gamma} & +\frac{1.3}{2.4} r^{2} e^{2 i \gamma}+\ldots+ \\
& +\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 n} r^{n} e^{n i \gamma}+\ldots
\end{aligned}
\]

Это выражение представляет собой абсолютно сходящийся ряд для $r<1$.
Также
\[
\left(1-r e^{-i \gamma}\right)^{-\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2} r e^{-i \gamma}+\ldots+\frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2 n} r^{n} e^{-n i \gamma}+\ldots .
\]

Произведение этих двух рядов также дает сходяшийся ряд, если $r<1$; коэффициент при члене $r^{n}$ равен
\[
\begin{array}{c}
A_{n}=\frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2 n} \cdot e^{n i \gamma}+\frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-3)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot(2 n-2)} \cdot \frac{1}{2} e^{(n-2) i \gamma}+ \\
+\frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-5)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot(2 n-4)} \cdot \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} e^{(n-4) i \gamma}+\ldots+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2 n} \cdot e^{-n i \gamma} .
\end{array}
\]

Коэффициент при члене $e^{p i \gamma}$ равен коэффициенту при $e^{-p i \gamma}$.
Таким образом, имеем полином с вещественными коэффициентами при косинусе угла $\gamma$ и кратных ему углов вплоть до $n$. Так как все коэффициенты данного полинома положительны, он достигает своего максимального значения при $\gamma=0$. Но в этом случае
\[
\frac{1}{M M^{\prime}}=\frac{1}{1-r}=1+r+\ldots+r^{n}+\ldots .
\]

Следовательно, коэффициенты разложения меньше или равны единице.
Можно записать
\[
\frac{1}{M M^{\prime}}=\sum A_{n} r^{n},
\]

где $A_{n}$ есть функция от $\mu, \varphi, \mu^{\prime}$ и $\varphi^{\prime}$.

Разложение в ряд потенциала сфероидального слоя. Потенциал $V$ равен
\[
\sum r^{n} \int A_{n} \varepsilon^{\prime} d \sigma
\]

Любой член разложения $V$ меньше, чем
\[
r^{n} \int \varepsilon^{\prime} d \sigma
\]

Допустимая погрешность разложения $V$ при вычислении суммы первых $n$ его членов меньше, чем
\[
\frac{r^{n+1}}{1-r} \int \varepsilon^{\prime} d \sigma
\]

Следовательно, ряд сходится, если $r<1$.
Функция $\frac{1}{M M^{\prime}}$ может быть разложена в ряд по возрастающим степеням переменных $x, y, z$ :
\[
\frac{1}{M M^{\prime}}=\frac{1}{\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z\right)^{2}}}=\sum x^{m} y^{p} z^{q} \int A_{m p q} \varepsilon^{\prime} d \sigma^{\prime},
\]

а вернувшись к полярным координатам, получим разложение по степеням $r^{n}$.

Если в разложении функции $V$ обозначить совокупность членов степени $n$ через $V_{n}$, можно записать
\[
V=V_{0}+V_{1}+\ldots+V_{n}+\ldots .
\]

Но функция $V$ удовлетворяет уравнению Лапласа, и значит
\[
\Delta V_{0}+\Delta V_{1}+\ldots+\Delta V_{n}+\ldots=0 .
\]

Чтобы данное равенство выполнялось, необходимо, чтобы все полиномы $V_{n}$ были сферическими. Если заменить $x, y, z$ в $V_{n}$ сферическими координатами $r, \mu$ и $\varphi$, получим функцию вида $r^{n} Y_{n}$, где $Y_{n}$ – сферическая функция. Отсюда
\[
V=\sum r^{n} Y_{n} .
\]

Эта формула применима и к случаю $r<1$.

Предположим, что $r>1$, и вообразим точку $M_{1}$, являющуюся образом точки $M$, так что $O M_{1} \times O M=1$ (рис. 8); обозначим $O M=r$, $O M_{1}=\frac{1}{r}$. Если точка $M^{\prime}$ расположена на поверхности сферы, то
\[
\frac{M M^{\prime}}{M^{\prime} M_{1}}=\frac{O M}{O M^{\prime}}=\frac{O M^{\prime}}{O M_{1}}=\frac{\sqrt{O M \times O M^{\prime}}}{\sqrt{O M^{\prime} \times O M_{1}}}=\sqrt{\frac{O M}{O M_{1}}}=r .
\]

Потенциал в точке $M_{1}$ равен
\[
V_{1}=\int \frac{\varepsilon^{\prime} d \sigma}{M_{1} M^{\prime}}=r \int \frac{\varepsilon^{\prime} d \sigma}{M M^{\prime}} .
\]

Отсюда
\[
V=\frac{V_{1}}{r} .
\]

Однако потенциал в точке $M_{1}$, расположенной на расстоянии $\frac{1}{r}$ от центра сферы, можно записать иначе:
Рис. 8
\[
V_{1}=\sum \frac{Y_{n}}{r^{n}} .
\]

Следовательно, потенциал в точке $M$ равен
\[
\sum \frac{Y_{n}}{r^{n+1}} \text {. }
\]

Предположим, что точки $M$ и $M_{1}$ приближаются к поверхности сферы, сохраняя соотношение $O M_{1} \times O M=1$. Значения потенциала в точках $M$ и $M_{1}$ приближаются друг к другу, а значения производных потенциала различны внутри и снаружи поверхности, и имеет место равенство
\[
\frac{\partial V}{\partial r}-\frac{\partial V_{1}}{\partial r_{1}}=4 \pi \varepsilon
\]

но
\[
V_{1}=V r, \quad \frac{\partial V_{1}}{\partial r_{1}}=\left[r \frac{\partial V}{\partial r}+V\right] \frac{d r}{d r_{1}}=-V r^{2}-\frac{\partial V}{\partial r} r^{3} .
\]

Таким образом, когда $r$ стремится к 1 ,
\[
\lim \left[\frac{\partial V}{\partial r}+r^{3} \frac{\partial V}{\partial r}+V r^{2}\right]=4 \pi \varepsilon
\]

Так как $\frac{\partial V}{\partial r}$ конечна, при тех же условиях верны равенства:
\[
\lim \frac{\partial V}{\partial r}(r-1)=0, \quad \lim \frac{\partial V}{\partial r}\left(r-r^{3}\right)=0 ;
\]

и, наконец,
\[
\lim V\left(1-r^{2}\right)=0 .
\]

Складывая четыре последних равенства, получим
\[
\lim \left[2 r \frac{\partial V}{\partial r}+V\right]=4 \pi \varepsilon .
\]

Положим
\[
\Phi=2 r \frac{\partial V}{\partial r}+V .
\]

Если $r<1, \Phi$ можно представить как ряд вида
\[
\Phi=\sum(2 n+1) r^{n} Y_{n}
\]

следовательно, функция $\Phi$ удовлетворяет уравнению Лапласа, поскольку она является суммой сферических полиномов.

Когда $r$ стремится к $1, \Phi$ стремится к $4 \pi \varepsilon$. Доказав, что данное разложение действительно также для $r=1$, мы придем к теореме Лапласа:

Теорема. Любую функцию двух переменных можно представить в виде суммы сферических функиий.

Потенциал в некоторой точке сфероидального слоя. На поверхности сферы единичного радиуса зададим функцию $\varepsilon$, которая определяет потенциал $V$ внутри сферы. Потенциал на поверхности сферы равен $4 \pi \varepsilon$.
Этот потенциал раскладывается в степенной ряд
\[
\sum A_{n} r^{n}
\]

который сходится, если $r<1$. Если рассматривать $r$ как комплексную переменную, $r=\rho e^{i \varphi}$, данный ряд определяет функцию $\Phi$, сходящуюся внутри окружности единичного радиуса.

Положим $r=e^{i \varphi}$. Тогда существует функция $\Phi^{\prime}$, определенная на окружности единичного радиуса, кроме, быть может, некоторого количества сингулярных точек. Если ряд (1) сходится для $\rho=1$, то, согласно теореме Абеля, он представляет собой функцию $\Phi^{\prime}$.

Я утверждаю, что это верно в том случае, если функция $\Phi^{\prime}$ разложима в ряд Фурье.
Тогда
\[
\Phi^{\prime}=\sum A_{n}^{\prime} e^{\pi i \varphi}+B_{n}^{\prime} e^{-n i \varphi} .
\]

Я также утверждаю, что верно следующее:
\[
A_{n}^{\prime}=A_{n}, \quad B_{n}^{\prime}=0 .
\]

Действительно, согласно теореме Коши, последовательность значений функции $\Phi^{\prime}$ внутри окружности единичного радиуса определяет функцию, которая есть не что иное, как функция $V\left(\rho e^{i \varphi}\right)$.

Эта функция разложима в ряд вида (1); с другой стороны, имеют место следующие равенства:
\[
A_{n}=\frac{1}{2 i \pi} \int \frac{\Phi^{\prime} d \varphi}{r^{n+1}}, \quad \frac{1}{2 i \pi} \int \Phi^{\prime} r^{n-1} d \varphi=0,
\]

где интегралы берутся вдоль окружности единичного радиуса.
Но первый интеграл сводится к $A_{n}^{\prime}$, а второй – к $B_{n}^{\prime}$. Следовательно,
\[
A_{n}^{\prime}=A_{n}, \quad B_{n}^{\prime}=0 .
\]

Значит, если функция $\Phi^{\prime}$ разложима в ряд Фурье, то ряд будет сходиться для всех $r=e^{i \varphi}$, в частности, для $r=1$.

Нам остается лишь доказать, что функция $\Phi^{\prime}$ разложима в ряд Фурье, т.е. что $\Phi^{\prime}$ – это функция от $\varphi$, имеющая производную во всей области определения, за исключением нескольких сингулярных точек, и что в этих сингулярных точках интеграл $\int\left|\Phi^{\prime}\right| d \varphi$ имеет смысл.

Докажем, что функцию $\varepsilon$ можно представить в виде суммы сферических функций. Потенциал в точке $M$ с координатами $(r, \theta, \varphi)$ равен
\[
V=\int \frac{\varepsilon^{\prime} d \sigma^{\prime}}{\overline{M M^{\prime}}},
\]

где $\varepsilon^{\prime}$ – плотность сферического слоя в точке $\left(\theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)$.

Имеет место равенство:
\[
\frac{\partial V}{\partial r}=-\int \frac{\varepsilon^{\prime} d \sigma^{\prime}}{M M^{2}} \frac{d M M^{\prime}}{d r}=\int \frac{\varepsilon^{\prime}(\cos \gamma-r) d \sigma^{\prime}}{M M^{\prime 3}} .
\]

Как уже было доказано,
\[
\varepsilon=\Phi(\theta, \varphi)=V+2 r \frac{\partial V}{\partial r}=\int \frac{\varepsilon^{\prime}\left(1-r^{2}\right) d \sigma^{\prime}}{M M^{\prime 3}} .
\]

Допустим, что луч $O M$ зафиксирован в пространстве, и примем его за ось $O z$ :
\[
\begin{array}{c}
\theta=0, \quad \mu=1, \\
M M^{\prime 2}=1-2 r \cos \gamma+r^{2}=1-2 \mu^{\prime} r+r^{2} .
\end{array}
\]

Элемент поверхности $d \sigma^{\prime}=d \mu^{\prime} d \varphi^{\prime}$, а значение функции $\Phi$ в точке $M$ запишется следующим образом:
\[
\Phi_{M}=\left(1-r^{2}\right) \int_{-1}^{+1} \frac{d \mu^{\prime}}{\left(1-2 r \mu^{\prime}+r^{2}\right)^{3 / 2}} \int_{0}^{2 \pi} \varepsilon^{\prime} d \varphi^{\prime},
\]

так как $\varepsilon^{\prime}$ зависит только от $\varphi^{\prime}$. Положим
\[
F\left(\mu^{\prime}\right)=\int_{0}^{2 \pi} \varepsilon^{\prime} d \varphi^{\prime} .
\]

Тогда
\[
\Phi=\left(1-r^{2}\right) \int_{-1}^{+1} \frac{F\left(\mu^{\prime}\right) d \mu^{\prime}}{\left(1-2 r \mu^{\prime}+r^{2}\right)^{3 / 2}} .
\]

Предположим, что сфера разделена на некоторое конечное количество сферических многоугольников, стороны которых представляют собой дуги аналитических кривых, и что в каждом из этих многоугольников функция $\varepsilon^{\prime}$ является непрерывной функцией от $\mu^{\prime}$ и $\varphi^{\prime}$.

При таких условиях $F\left(\mu^{\prime}\right)$ есть аналитическая функция от $\mu^{\prime}$, за исключением тех значений $\mu^{\prime}$, которые соответствуют вершинам многоугольников или параллелям на сфере, касательным к сторонам многоугольников. Тогда функция $\frac{F\left(\mu^{\prime}\right)}{M M^{\prime 3}}$ интегрируема на интервале от -1 до +1 .

Положив $r=e^{i \psi}$, получим
\[
M M^{\prime 2}=2 r\left[\frac{1}{2}\left(r+\frac{1}{r}\right)-\mu^{\prime}\right]=2 r\left(\cos \psi-\mu^{\prime}\right),
\]

а положив затем
\[
\cos \psi-\mu^{\prime}=Z^{2},
\]

получим
\[
\Phi=\frac{1-r^{2}}{(2 r)^{3 / 2}} \int_{-1}^{+1} \frac{F\left(\mu^{\prime}\right) d \mu^{\prime}}{Z^{3}} .
\]

Далее мы докажем, что функция $\Phi$ от $\psi$ имеет производную и, следовательно, разложима в ряд Фурье.

И наконец, если разложить ее по степеням $r$, то получится сходящийся ряд для $|r|<1$. В том случае, когда $\varepsilon$ содержит конечное число членов, данный ряд будет сходящимся и для $|r|=1$.

Рассмотрим несколько примеров, которые мы используем в дальнейшем.
Если $\varepsilon^{\prime}=\frac{1}{2 \pi}$, то
\[
F\left(\mu^{\prime}\right)=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \varphi}{2 \pi}=1,
\]

а если $\varepsilon^{\prime}=\frac{1}{\pi}$, то
\[
F\left(\mu^{\prime}\right)=2 .
\]

Соответствующими сферическими функциями могут быть $Y_{0}=$ $=\frac{1}{2 \pi}$ или $Y_{0}=\frac{1}{\pi}$.
Также, если $\varepsilon^{\prime}=\frac{\mu^{\prime}}{2 \pi}$, то, применив формулу со стр. 54 , получим
\[
4 \pi \varepsilon^{\prime}=Y_{0}+3 Y_{1}+5 Y_{2}+\ldots .
\]

В нашем случае
\[
Y_{0}=Y_{2}=\ldots=0, \quad Y_{1}=\frac{2}{3} \mu
\]

и
\[
\Phi_{0}=2 r=2 e^{i \psi} .
\]

Теорема Лапласа. В любом случае верно следующее:
\[
F\left(\mu^{\prime}\right)=a+b \mu^{\prime}+F_{1}\left(\mu^{\prime}\right),
\]

где $a$ и $b$ – некоторые постоянные. Функция $\Phi$ в этом случае запишется так:
\[
2 a+2 b e^{i \psi}+\Phi_{1}
\]

Положив
\[
\eta(\psi)=\frac{1-r^{2}}{2 r^{3 / 2}}=\frac{-i \sin \psi}{\sqrt{r}} e^{-i \frac{\psi}{2}}
\]

получим
\[
\Phi_{1}=\eta(\psi) \int_{-1}^{+1} \frac{F_{1}\left(\mu^{\prime}\right) d \mu^{\prime}}{Z^{3}} .
\]

Учитывая вышеизложенное, для того чтобы убедиться, что функция $\Phi$ разложима в ряд Фурье, следует доказать, что
1) производная $\frac{d \Phi}{d \psi}$ существует и конечна на всей области определения за исключением ограниченного числа сингулярных точек функции $\Phi$;
2) интеграл $\int|\Phi| d \psi$ в этих сингулярных точках конечен.
Но $Z=0$ при $\mu^{\prime}=\cos \psi$, а значит, $F\left(\mu^{\prime}\right)$ не имеет смысла. Необходимо выяснить, к какому пределу стремится функция, когда $\mu$ стремится к $\cos \psi$.
Производная $\frac{d \Phi}{d \psi}$ существует. В самом деле,
\[
\frac{d \Phi}{d \psi}=2 b i e^{i \psi}+\frac{d \eta}{d \psi} \int_{-1}^{+1} \frac{F_{1} d \mu^{\prime}}{Z^{3}}+\frac{3}{2} \eta \sin \psi \int_{-1}^{+1} \frac{F_{1} d \mu^{\prime}}{Z^{3}} .
\]

Можно подобрать $a$ и $b$ таким образом, чтобы
\[
F_{1}(\cos \psi)=0, \quad F_{1}^{\prime}(\cos \psi)=0 .
\]

Следовательно, если $\cos \psi-\mu^{\prime}$ есть бесконечно малая величина первого порядка, то значение функции $F\left(\mu^{\prime}\right)$, аналитической в окрестности $\cos \psi$, будет бесконечно малой величиной второго порядка. Знаменатели под знаком интеграла – величины порядка $\frac{3}{2}$ и $\frac{5}{2}$, а числитель – величина второго порядка. Интеграл, таким образом, конечен за исключением случая, когда $\cos \psi$ – точка сингулярности для функции $F\left(\mu^{\prime}\right)$. В этих сингулярных точках $\left(\psi=\psi_{0}\right)$ интеграл
\[
\int|\Phi| d \psi
\]

должен быть конечным.
Предположим, что
\[
a=F\left(\cos \psi_{0}\right), \quad b=0 .
\]

Тогда
\[
\int|\Phi| d \psi<2 \int|F(\cos \psi)| d \psi+\int \eta d \psi \int \frac{\left|F\left(\mu^{\prime}\right)-F(\cos \psi)\right|}{Z^{3}} d \mu .
\]

Правая часть данного неравенства должна оставаться конечной. Первый интеграл конечен. Следует доказать, что это так и для второго интеграла.

Этот интеграл представляет собой двойной интеграл, и его значение в сингулярных точках должно быть бесконечно малой величиной порядка ниже двух, а в сингулярных линиях – порядка ниже единицы.

В нашем случае имеется одна сингулярная линия, а именно, линия $\mu^{\prime}=\cos \psi$. В точке $\mu^{\prime}=\cos \psi_{0}$ числитель должен быть бесконечно малой величиной первого порядка, а знаменатель – величиной порядка $\frac{3}{2}$, за исключением сингулярных точек функции $F\left(\mu^{\prime}\right)$. Следовательно, элемент интеграла должен быть бесконечной величиной порядка $\frac{1}{2}$, и интеграл имеет смысл.

В сингулярных точках $F\left(\mu^{\prime}\right)
eq F(\cos \psi)$ значение функции имеет порядок $\frac{3}{2}$, и интеграл снова имеет смысл.

Таким образом, функция $\Phi$ удовлетворяет необходимым условиям и разложима в ряд Фурье.

Формула Лапласа действительна для случая $r=1$, и имеет место следующее равенство:
\[
\varepsilon=\frac{1}{4 \pi} \sum(2 n+1) Y_{n}
\]

Теорема Лапласа доказана.