УДК 621.391
С. А. АГЕЕВ

ПСЕВДОГРАДИЕНТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО ТРЕНДА

При обработке сигналов и изображений возникает задача оценки тренда наблюдений в порядке регистрации исследуемого сигнала или изображения. Как показано в работах [1,2], перспективными для решения этой задачи являются псевдоградиентные процедуры. Рассмотрим случайный тренд, описываемый авторегрессионной моделью первого порядка

,     (1)

где  - коэффициент корреляции;  - независимы, имеют нулевые средние и дисперсии . Пусть наблюдения имеют вид

,         (2)

где  - независимые шумы с нулевыми средними и дисперсиями. Ограничений на вид распределений не накладывается.

Будем искать оценку тренда на n-ом шаге с помощью псевдоградиентной процедуры

,

где  следующая за  оценка и . Критерием качества оценивания пусть будет функционал

.         (4)

Можно показать, что разность  является псевдоградиентом по отношению к функционалу (4) , поэтому шаги в (3) делаются, в среднем, в сторону уменьшения (4).

Значение параметра  существенно влияет на качество решения задачи. Найдем его оптимальное значение. Для этого исследуем среднее значение и дисперсию ошибки оценивания  .Используя (3), можно получить рекуррентное соотношение

.         (5)

Или, учитывая, что , для достаточно больших n можно записать приближенное равенство

.       (6)

Дисперсия ошибки удовлетворяет отношению

.    (7)

Находя минимум (7) по , получаем значение  для n-го шага, при котором достигается минимум дисперсии ошибки оценивания

.   (8)

Полученные выражения можно обобщить для авторегрессионной модели более высокого порядка. На рис.1 приведены графики для сравнительного анализа оптимальной калмановской фильтрации и предложенных алгоритмов. На этом рисунке кривая 1 представляет значения дисперсий ошибок калмановского оценивания (КО) в зависимости от номера n отсчета, кривая 2 - значения дисперсий ошибок псевдоградиентного оценивания (ПО) с использованием выражения (8), кривая 3 соответствует случаю ПО с , кривая 4 - ПО с  и кривая 5 - ПО с . Коэффициент корреляции  0,9, а соотношение сигнал/шум . Анализ этих графиков показывает, что качество оценивания для  не более чем на 0.5% хуже, чем качество с использованием выражения (8).

Рис. 1

Ha рис.2. представлены зависимости от коэффициента корреляции предельных знамений  дисперсий ошибок КО (кривая 1.) и ПО с использованием выражения (8) (кривая) при . Кривые 3 и 4 - то же самое при . Анализ этих зависимостей показывает, что с ростом  и  разница в качестве этих методов убывает.

Если параметры модели неизвестны, а известны только их границы, то может быть рекомендовано постоянное , исходя из минимаксного подхода [3]. Так если  и , то  может быть рекомендовано от 0.6 до 0.85 , если . то , если , то . При этом качество ПО хуже качества оптимального КО не более чем на . Если параметры модели заданы более точно, то интервалы значений  можно уточнить с помощью приведенных выше соотношений.

На рис.3 для  представлены зависимости предельных  от  для различных значений . Например, при  и  больше, чем для КО, не более чем на 1.5%, а при этом же  и  минимальная дисперсия ошибки оценивания будет при .

Рис. 2.

Рис. 3

При этом дисперсия ошибки оценивания увеличивается по отношению к процедуре с использованием выражения (8) не более чем на 2.5÷3.5%.

Таким образом, рассмотренные процедуры просты, реализуемы в реальном масштабе времени и в ряде важных практических ситуаций незначительно уступают по качеству более сложным оптимальным алгоритмам, для реализации которых необходимо задание параметров моделей трендов и наблюдений.

Библиографический список

1.                     Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Псевдоградиентные алгоритмы адаптации и обучения / / Автоматика и телемеханика. 1973. N 3. С. 45 – 63.

2.                     Агеев С.А. Псевдоградиентное оценивание тренда случайного процесса.         Тезисы докладов 28-н НТК. Ульяновск: УлГТУ, 1994. С. 30 - 31.

3.                     Уилкс С., Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 632 С.