УДК 621.391.2
К.К.Ваеильев, А.В.Скрынников

ПРИМЕНЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ С МАЛЫМИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ ЗАТРАТАМИ

Задача фильтрации изображении, наблюдаемых на фоне помех, является весьма важной для разнообразных приложении [1-3]. Вместе с тем, строго оптимальное решение задачи Фильтрации, которое приводит к практически реализуемым процедурам обработки больших массивов данных в реальном времени, в настоящее время отсутствует. 11 Оптимальные оценки [2.3], основанные на методах калмановской фильтрации, требуют выполнения не менее     N операций умножения на один элемент изображения размером N×N элементов. В настоящей работе предлагается применение методов спектрального анализа для синтеза оптимальных процедур оценивания изображений, реализация которых возможна  умножений на один элемент изображения.

Предположим, что изображение может быть задано с помощью известной авторегрессионной модели [1,2]:

,  (1)

где  и  номер строки и столбца элемента , в котором определено значение  двумерного случайного поля (СП), т.е. плоского изображения;  - совокупность независимых гауссовских случайных величин с дисперсиями . Как показано в работах [1,2], уравнений (1) представляет двумерное СП с биэкспоненциальной корреляционной функцией, причем  и  - коэффициенты корреляции между соседними элементами СП по столбцам и строкам, соответственно. Рассматриваемое СП (1) наблюдается в смеси

, ; ,         (2)

с белым гауссовским СП , имеющим дисперсию .

При этом возникает задача оптимального (в смысле минимума дисперсии ошибки ) оценивания информационного СП  по наблюдениям .

Учитывая гауссовское представление СП в поставленной задаче, воспользуемся для ее решения методом максимума апостериорного распределения

,  (3)

где с учётом заданных моделей (1), (2),

.

После несложных преобразовании можно привести задач-максимизации (3) к поиску минимума функции

  (4)

Дифференцируя (4) по всем переменным  и приравнивая производные к нулю, получим следующую систему разностных уравнений на множестве G узлов прямоугольной N×N -сетки:

,         ,     (5)

где ; ;       и

 - разностные операторы;  и  - операторы сдвига;  - подмножество граничных узлов сетки.

Решение уравнений (5) определяется в виде разложения по собственным функциям оператора  [5]:

,     (6)

где  и  - спектр и собственные функции оператора ;  - коэффициенты разложения  по системе .

В силу коммутируемости  и , спектр и собственные функции оператора  вычисляются по формулам

, , ,

где ,  и ,  - спектр и собственные функции соответствующих операторов  и .

Спектральное описание оператора  (для оператора  оно аналогично) дается в следующей теореме.

Теорема. При условии  оператор  имеет простой вещественный спектр

,       ,

и собственные функции

,   , ,

где .

Собственные функции ортогональны в пространстве сеточных функций на  с весом .

Обратимся теперь к способу вычисления суммы (6). После подстановки полученных соотношений имеем

,         (7)

где представляет собой решение разностного уравнения ; .

Таким образом, с помощью метода инвариантного погружения можно найти решение приведенного разностного уравнения за  операций [1]. После этого массив  определяется за  операций. Наконец, сумма

с помощью метода быстрого преобразования Фурье [4] вычисляется за  операций умножения для фиксированного столбца, для всех столбцов сетки – за  операций.

Полученные результаты позволяют осуществить строго оптимальное оценивание двухмерного сеточного поля на фоне помех за  операций умножения, что значительно меньше, чем для известных процедур основанных на методах калмановской фильтрации.

Библиографический список

1.                     Васильев К.К., Крашенинников В.Р. Методы фильтрации многомерных случайных полей. Саратов: Изд-во Снрат. ун-та 1090. 128 с.

2.                     Woods J.W. Two-dimensional Kalman filtering // Topics in applied physics. Berlin, e.a., 1981, v.42, p p. 155-208.

3.                     Васильев К.К., Гермес В.Г. Анализ эффективности фильтрации плоских изображений // Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей: Сб.науч.тр. Киев: УМК ВО, 1991. С. 115-122.

4.                     Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь. 1980. 2-18 с.

5.                     Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542с.