ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ И СТАТИСТИКА БОЗЕ

Теперь мне хотелось бы поговорить о величине амплитуд различных процессов. Это позволит иначе взглянуть на проблему и даст ключ к решению вопроса о связи спина со статистикой. Основная идея состоит в том, что если взять некоторое произвольное начальное состояние и воздействовать на него произвольным набором возмущающих факторов, то вероятности перехода во все возможные конечные состояния должны в сумме дать единицу.

Сначала рассмотрим пример из нерелятивистской области, а затем сравним его с результатами для релятивистского случая. Предположим, что на частицу, первоначально находившуюся в исходном состоянии воздействует возмущение. Мы хотим подсчитать с помощью теории возмущений вероятность перехода в заданное конечное состояние. Амплитуда перехода в состояние под влиянием возмущения дается выражением (3); отсюда

для вероятности события, в котором с частицей ничего не происходит, следует:

где использовано разложение

Амплитуда перехода частицы в состояние под влиянием возмущения равна

Отметим, что в выражении мы удержали члены порядка и опустили члены более высоких порядков. Чтобы получить вероятность с точностью до мы здесь сохранили член порядка и отбросили величины более высоких порядков. Искомая вероятность равна

Рис. 3. Диаграммное тождество, которое должно выполняться, если полная вероятность равна 1.

Полная же вероятность должна быть равна 1:

В результате мы находим соотношение между вероятностью однократного рассеяния в новое состояние и вероятностью двукратного рассеяния, возвращающего частицу в исходное состояние. Диаграммы, отвечающие этим процессам, показаны на рис. 3.

Можно показать, что на самом деле это соотношение выполняется для любых потенциалов

Перейдем теперь к релятивистскому случаю, считая, что спин равен нулю. Тут возникает следующая проблема. В дополнение к рассмотренным выше процессам нам придется учесть, что промежуточное состояние может быть античастицей; другими словами, нам нужно будет добавить диаграмму того же вида, что и на рис. 2, б. К полной вероятности процесса мы должны будем прибавить удвоенную вещественную часть вклада этой диаграммы. Нам предстоит найти нечто, что компенсировало бы дополнительный вклад этой диаграммы в полную вероятность, поскольку эта полная вероятность должна остаться равной единице.

Ключом к разгадке этой тайны является процесс, изображенный на рис. 4, который напоминает рис. 3. Возможно, это заранее не очевидно, однако, вычислив обе амплитуды, мы убедимся, что здесь все в порядке.

Новая диаграмма в левой части рис. 4 нужна, чтобы удовлетворить требованиям теории относительности, и описывает рождение пары, в которой одна из частиц находится в состоянии Отметим, что этот процесс дает отрицательный вклад в полную вероятность. Таким образом, если мы сможем использовать

Рис. 4. Диаграммное тождество для частиц с нулевым спином при наличии античастиц.

диаграмму в левой части рис. 4 для вычисления полной вероятности, то последняя окажется равной единице, и тем самым мы решим проблему.

Однако непосредственное использование этой диаграммы лишено смысла по двум причинам. Во-первых, диаграмма в левой части рис. 4 отвечает вакуумному начальному состоянию вместо состояния и, во-вторых, у нас, по-видимому, нет основания рассматривать только те пары, в которых одна из частиц рождается в состоянии так как частицы могут находиться в любых состояниях. Таким

образом, мы получили правильный ответ, исходя из неверных посылок.

Все, что я успел вам рассказать, — чистая правда, но отнюдь не вся правда. Мы пренебрегли некоторыми диаграммами; если бы мы учли их вклады, то пришли бы к важному свойству бозе-частиц: если в определенном состоянии находится частица, то вероятность рождения в этом же состоянии еще одной частицы возрастает.

Давайте вернемся на один шаг назад и вместо частицы в начальном состоянии рассмотрим вакуумное состояние (т. е. состояние вообще без частиц), а затем используем уже знакомую нам идею, согласно которой полная вероятность должна быть единицей. Для нерелятивистского случая все выглядит тривиально: раз нет частиц, то ничего не произойдет, и вероятность отсутствия событий будет равна единице. Однако мы уже знаем, что в релятивистской области необходимо учитывать возможность рождения и аннигиляции пар под влиянием возмущений. Нетрудно видеть, что в первом приближении теории возмущений существенный вклад дадут только три диаграммы на рис. 5. Первая диаграмма изображает отсутствие событий — несмотря на возмущение вакуум остается вакуумом. На второй

Рис. 5. Процессы с начальным вакуумным состоянием (состояние без частиц).

диаграмме изображены переходы из вакуумного состояния снова в вакуумное состояние, просуммированные по всем возможным промежуточным частицам. Третья диаграмма отвечает рождению пары.

Как и раньше, вероятность того, что хоть что-нибудь произойдет, равна единице. На языке диаграмм рис. 5 это означает, что отсюда следует соотношение, изображенное на рис. 6.

Возвращаясь к рассмотрению процессов с частицей в начальном состоянии нам придется

Рис. 6. Диаграммное тождество с начальным вакуумным состоянием.

придется учесть возможность рождения и аннигиляции пар. Мы получим всего шесть диаграмм, показанных на рис. 7. На первых четырех диаграммах система возвращается в исходное состояние а на двух последних состояние системы изменяется.

Как мы уже видели в нерелятивистском случае, вклады диаграмм на рис. 7, б и 7, д в полную вероятность гасят друг друта (см. рис. 3), следовательно, вероятности для остальных диаграмм на рис. 7, в, г, е также должны компенсироваться. Сравнивая эти диаграммы с изображенными на рис. 5, можно подумать, что суммарный вклад диаграмм 7, г и 7, е равен нулю, как это было с диаграммами 5, б

Рис. 7. Диаграммы для частицы в начальном состоянии

и 5, в, поскольку эти диаграммы различаются только «посторонней» частицей — спектатором, присутствие которого никак не связано с рождением пары (во всяком случае, так может показаться). Но тогда у нас останется

диаграмма 7, в; это и есть та проблема, с которой мы сталкиваемся в релятивистском случае — неясно, что будет компенсировать вклад этой диаграммы в полную вероятность.

У этой проблемы очень изящное решение: «посторонняя» частица на диаграмме 7, е на самом деле связана с рождением пары. Рассмотрим частный случай диаграммы 7, е, в котором состояние совпадает с начальным состоянием Теперь у нас есть одна частица в начальном состоянии две частицы в конечном состоянии и одна частица в состоянии q. Существует ли способ узнать, какая из двух частиц в конечном состоянии идентична исходной частице и какая возникла при рождении пары? Ответ таков: узнать это невозможно. Поэтому нам придется добавить еще одну диаграмму; на рис. 8 показана диаграмма, дающая вклад в 7, е, и так называемая диаграмма с обменом.

Именно возможность взаимного обмена местами и решает нашу проблему. Две диаграммы на рис. 8 в сумме дают дополнительный вклад в полную вероятность, который гасит отрицательный вклад диаграммы 7, в (см. рис. 4).

Давайте подведем итог. Мы добавили несколько дополнительных диаграмм, чтобы

Рис. 8. Диаграмма 7, е и диаграмма с обменом.

учесть возможность рождения пар, в частности, нам пришлось добавить диаграмму рис. 7, в. При попытке подсчитать полную вероятность обнаружилось, что эта диаграмма (рис. 7, в) дает отрицательный вклад, который должен чем-то компенсироваться. То, чем он компенсируется — это избыточная (из-за присутствия спектатора) вероятность рождения пары, в которой одна из частиц оказывается в том же состоянии, что и спектатор.

Увеличение вероятности — очень глубокий и важный результат. Он означает, что само по себе присутствие частицы в некотором состоянии удваивает вероятность рождения пары частиц в том же состоянии. Если

Рис. 9. Рождение двух пар без обмена частицами (а); рождение двух пар с обменом частицами (б).

в заданном состоянии первоначально находилось частиц, то вероятность увеличивается в раз. Это на самом деле замечательно! Это объясняет основное свойство статистики Бозе, благодаря которой работают лазеры и прочее.

В качестве еще одного примера рассмотрим вакуумные диаграммы более высокого порядка. Допустим, что четырехкратное действие возмущения привело к рождению и аннигиляции двух пар частица-античастица, как показало на рис. 9, а. Предположим, что мы сравниваем полученный результат с тем, когда частицы аннигилируют с античастицами из другой пары. Вы получите диаграмму типа изображенной на рис. 9, б. Амплитуды обоих процессов дают вклад в вакуумную амплитуду.

Это очень просто и на этом основана статистика Бозе.

По существу, в статистике Бозе нет ничего особенно загадочного. В том, что при переходе двух частиц из А, В в А, В одна из них попадает из А в В, а другая из В в А вместо того, чтобы переходить из А в А! и из В в В, и при этом амплитуды складываются, нет ничего удивительного, поскольку это просто частный случай общего принципа квантовой механики: если процесс может иметь несколько исходов, то следует сложить амплитуды, отвечающие всем этим исходам. Если частицы возникают в результате квантования классического поля (скажем, электромагнитного поля или колебаний кристаллической решетки), то согласно принципу соответствия частицы должны подчиняться статистике Бозе при надлежащей корреляции интенсивности, как в случае эффекта Ганбери-Брауна-Твисса. Проще говоря, бозе-частицы естественно возникают при квантовании полей как моды гармонических осцилляторов.

Оказывается, что в случае фермионов — частиц с полуцелым спином, неожиданно возникает знак минус. Например, для процесса на рис. 9 каждая петля приводит к появлению знака минус у амплитуды. Из-за этого у амплитуды, отвечающей диаграмме на рис. 9, а, будет два знака минус, тогда как у амплитуды на рис. 9, б с одной петлей только один. В результате эти амплитуды будут вычитаться, и мы получим статистику Ферми. Мы собираемся разобраться в том, почему спин приводит к появлению отрицательного знака для каждой петли. Как мы увидим далее, все дело в скрытых поворотах на угол в 360°.