Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ЧАСТИЦЫ С НУЛЕВЫМ СПИНОМ И СТАТИСТИКА БОЗЕТеперь мне хотелось бы поговорить о величине амплитуд различных процессов. Это позволит иначе взглянуть на проблему и даст ключ к решению вопроса о связи спина со статистикой. Основная идея состоит в том, что если взять некоторое произвольное начальное состояние и воздействовать на него произвольным набором возмущающих факторов, то вероятности перехода во все возможные конечные состояния должны в сумме дать единицу. Сначала рассмотрим пример из нерелятивистской области, а затем сравним его с результатами для релятивистского случая. Предположим, что на частицу, первоначально находившуюся в исходном состоянии для вероятности события, в котором с частицей ничего не происходит, следует:
где использовано разложение Амплитуда перехода частицы в состояние
Отметим, что в выражении
Рис. 3. Диаграммное тождество, которое должно выполняться, если полная вероятность равна 1. Полная же вероятность должна быть равна 1:
В результате мы находим соотношение между вероятностью однократного рассеяния в новое состояние и вероятностью двукратного рассеяния, возвращающего частицу в исходное состояние. Диаграммы, отвечающие этим процессам, показаны на рис. 3. Можно показать, что на самом деле это соотношение выполняется для любых потенциалов Перейдем теперь к релятивистскому случаю, считая, что спин равен нулю. Тут возникает следующая проблема. В дополнение к рассмотренным выше процессам нам придется учесть, что промежуточное состояние может быть античастицей; другими словами, нам нужно будет добавить диаграмму того же вида, что и на рис. 2, б. К полной вероятности процесса мы должны будем прибавить удвоенную вещественную часть вклада этой диаграммы. Нам предстоит найти нечто, что компенсировало бы дополнительный вклад этой диаграммы в полную вероятность, поскольку эта полная вероятность должна остаться равной единице. Ключом к разгадке этой тайны является процесс, изображенный на рис. 4, который напоминает рис. 3. Возможно, это заранее не очевидно, однако, вычислив обе амплитуды, мы убедимся, что здесь все в порядке. Новая диаграмма в левой части рис. 4 нужна, чтобы удовлетворить требованиям теории относительности, и описывает рождение пары, в которой одна из частиц находится в состоянии
Рис. 4. Диаграммное тождество для частиц с нулевым спином при наличии античастиц. диаграмму в левой части рис. 4 для вычисления полной вероятности, то последняя окажется равной единице, и тем самым мы решим проблему. Однако непосредственное использование этой диаграммы лишено смысла по двум причинам. Во-первых, диаграмма в левой части рис. 4 отвечает вакуумному начальному состоянию вместо состояния образом, мы получили правильный ответ, исходя из неверных посылок. Все, что я успел вам рассказать, — чистая правда, но отнюдь не вся правда. Мы пренебрегли некоторыми диаграммами; если бы мы учли их вклады, то пришли бы к важному свойству бозе-частиц: если в определенном состоянии находится частица, то вероятность рождения в этом же состоянии еще одной частицы возрастает. Давайте вернемся на один шаг назад и вместо частицы в начальном состоянии
Рис. 5. Процессы с начальным вакуумным состоянием (состояние без частиц). диаграмме изображены переходы из вакуумного состояния снова в вакуумное состояние, просуммированные по всем возможным промежуточным частицам. Третья диаграмма отвечает рождению пары. Как и раньше, вероятность того, что хоть что-нибудь произойдет, равна единице. На языке диаграмм рис. 5 это означает, что Возвращаясь к рассмотрению процессов с частицей в начальном состоянии
Рис. 6. Диаграммное тождество с начальным вакуумным состоянием. придется учесть возможность рождения и аннигиляции пар. Мы получим всего шесть диаграмм, показанных на рис. 7. На первых четырех диаграммах система возвращается в исходное состояние Как мы уже видели в нерелятивистском случае, вклады диаграмм на рис. 7, б и 7, д в полную вероятность гасят друг друта (см. рис. 3), следовательно, вероятности для остальных диаграмм на рис. 7, в, г, е также должны компенсироваться. Сравнивая эти диаграммы с изображенными на рис. 5, можно подумать, что суммарный вклад диаграмм 7, г и 7, е равен нулю, как это было с диаграммами 5, б
Рис. 7. Диаграммы для частицы в начальном состоянии и 5, в, поскольку эти диаграммы различаются только «посторонней» частицей — спектатором, присутствие которого никак не связано с рождением пары (во всяком случае, так может показаться). Но тогда у нас останется диаграмма 7, в; это и есть та проблема, с которой мы сталкиваемся в релятивистском случае — неясно, что будет компенсировать вклад этой диаграммы в полную вероятность. У этой проблемы очень изящное решение: «посторонняя» частица на диаграмме 7, е на самом деле связана с рождением пары. Рассмотрим частный случай диаграммы 7, е, в котором состояние Именно возможность взаимного обмена местами и решает нашу проблему. Две диаграммы на рис. 8 в сумме дают дополнительный вклад в полную вероятность, который гасит отрицательный вклад диаграммы 7, в (см. рис. 4). Давайте подведем итог. Мы добавили несколько дополнительных диаграмм, чтобы
Рис. 8. Диаграмма 7, е и диаграмма с обменом. учесть возможность рождения пар, в частности, нам пришлось добавить диаграмму рис. 7, в. При попытке подсчитать полную вероятность обнаружилось, что эта диаграмма (рис. 7, в) дает отрицательный вклад, который должен чем-то компенсироваться. То, чем он компенсируется — это избыточная (из-за присутствия спектатора) вероятность рождения пары, в которой одна из частиц оказывается в том же состоянии, что и спектатор. Увеличение вероятности — очень глубокий и важный результат. Он означает, что само по себе присутствие частицы в некотором состоянии удваивает вероятность рождения пары частиц в том же состоянии. Если
Рис. 9. Рождение двух пар без обмена частицами (а); рождение двух пар с обменом частицами (б). в заданном состоянии первоначально находилось В качестве еще одного примера рассмотрим вакуумные диаграммы более высокого порядка. Допустим, что четырехкратное действие возмущения привело к рождению и аннигиляции двух пар частица-античастица, как показало на рис. 9, а. Предположим, что мы сравниваем полученный результат с тем, когда частицы аннигилируют с античастицами из другой пары. Вы получите диаграмму типа изображенной на рис. 9, б. Амплитуды обоих процессов дают вклад в вакуумную амплитуду. Это очень просто и на этом основана статистика Бозе. По существу, в статистике Бозе нет ничего особенно загадочного. В том, что при переходе двух частиц из А, В в А, В одна из них попадает из А в В, а другая из В в А вместо того, чтобы переходить из А в А! и из В в В, и при этом амплитуды складываются, нет ничего удивительного, поскольку это просто частный случай общего принципа квантовой механики: если процесс может иметь несколько исходов, то следует сложить амплитуды, отвечающие всем этим исходам. Если частицы возникают в результате квантования классического поля (скажем, электромагнитного поля или колебаний кристаллической решетки), то согласно принципу соответствия частицы должны подчиняться статистике Бозе при надлежащей корреляции интенсивности, как в случае эффекта Ганбери-Брауна-Твисса. Проще говоря, бозе-частицы естественно возникают при квантовании полей как моды гармонических осцилляторов. Оказывается, что в случае фермионов — частиц с полуцелым спином, неожиданно возникает знак минус. Например, для процесса на рис. 9 каждая петля приводит к появлению знака минус у амплитуды. Из-за этого у амплитуды, отвечающей диаграмме на рис. 9, а, будет два знака минус, тогда как у амплитуды на рис. 9, б с одной петлей только один. В результате эти амплитуды будут вычитаться, и мы получим статистику Ферми. Мы собираемся разобраться в том, почему спин
|
1 |
Оглавление
|