Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
СПИН 1/2 И СТАТИСТИКА ФЕРМИДо сих пор спин считался равным нулю; теперь мне бы хотелось положить его равным и посмотреть, что из этого получится. Если имеется состояние со спином и вы совершите поворот, скажем, относительно оси z на угол подобных штук; я не буду здесь на этом останавливаться, хотя это довольно приятное времяпрепровождение. Суть в том, что когда вы совершаете поворот на 360°, волновая функция умножается на Дирак очень изящно продемонстрировал то, как полный поворот можно отличить от ситуации, в которой ничего не произошло я это делаю — пока вы опять не увидите вот эту метку; вот я повернул его на 360°, но у меня возникли проблемы. Если я буду продолжать в том же духе — для этого потребуется немного мужества, если учесть обстоятельства — и не вывихну себе руку, то все встанет на свои места. Таким образом, два поворота равносильны тому, что ничего не произошло, но для одного поворота это не так, поэтому вам придется все время следить, был ли поворот; остальная часть этой лекции будет действовать вам на нервы из-за этих постоянных попыток отследить, был ли поворот или нет. Чтобы у вас сложилось представление о структуре часто встречающихся здесь формул с половинными углами, я упомяну в качестве примера еще кое-что. Допустим, у вас есть электрон, и вы знаете, что проекция его спина на ось
Рис. 9А. направлениями составляет
Давайте теперь посмотрим, что происходит в теории полуцелого спина с амплитудами для скалярного взаимодействия. Мы рассмотрим простое возмущение U, для которого спиновые составляющие амплитуд будут обусловлены свойствами самих частиц, а не возмущения; это существенно упростит анализ. Мы выведем соотношения, сходные с полученной выше формулой с половинным углом, однако в них будут реально учтены релятивистские поправки. Итак, приступим. Если у нас есть частица массой
где
то Предположим, что частица в состоянии с некоторым спином переходит под влиянием возмущения из состояния покоя в состояние с импульсом
По аналогии с рассмотренным выше пространственным поворотом с точностью до несущественного множителя мы можем записать это выражение в форме
Эту амплитуду можно представить в релятивистски-ковариантной форме, если учесть, что 4-векторов. В результате амплитуда принимает вид
Преимущество релятивистски-ковариантной формы записи состоит в том, что амплитуда, полученная нами для частного случая, будет верна при любых
Используя эти результаты, мы продолжим наш разговор о полной вероятности для спина и увидим, что здесь нам придется столкнуться с принципом Паули. Поскольку рассмотрение данного вопроса во многом аналогично случаю нулевого спина, основное внимание я уделю только различиям между ситуациями с нулевым спином и спином Если рассматривать начальное вакуумное состояние, то результаты для нулевого спина непосредственно обобщаются на наш случай, и мы получим такое же соотношение, как и на рис. 6. Рассмотрим теперь процесс, начальное условие для которого задается частицей в состоянии Для вычисления полной вероятности нам потребуются вещественная часть амплитуд на рис. 7, б, в, г и квадрат модуля амплитуд на рис. 7, д и е. Начнем с процесса на рис. 7, б, в котором частица рассеивается в точке
причем знак минус здесь обусловлен множителями — i, появляющимися в каждой из вершин диаграммы. Вероятность процесса на рис. 7, д дается квадратом модуля выражения (16); результат суммирования по импульсам показывает, что в силу (16) и (19) соотношение на рис. 3 будет справедливо и для частиц со спином Теперь надо быть очень внимательными, чтобы получить правильное выражение для диаграммы на рис. 7, в. Это выражение содержит отрицательные частоты и должно совпадать с (19), когда события
Эта формула получена только на основе аналитических свойств амплитуды [таким же способом было получено равенство (11)]; при ее выводе выражение (18) не использовалось, хотя можно было бы считать, что множитель Здесь проявляется важное различие случаев нулевого спина и спина соотношение на рис. 4 неприменимо для фермионов. Мы теперь располагаем всем необходимым, чтобы убедиться в правильности этого вывода для частиц со спином Вспомним теперь, что для бозе-частиц диаграмма на рис. 7, в давала отрицательный вклад в полную вероятность. Это означало, что должно было возникнуть нечто, дающее положительный вклад и тем самым сохраняющее общий баланс. Эту проблему можно решить, рассмотрев диаграммы 7, г и 7, е с р = 0 и диаграмму на рис. 7, в. Мы видели, что добавление обменной диаграммы (рис. 8) дает
Рис. 10. Тождество для частиц со спином необходимый положительный вклад. В конечном счете все это привело к статистике Бозе. В случае фермионов диаграмма на рис. 7, в дает, наоборот, положительный вклад в полную вероятность (это видно из рис. 10), так что теперь нам понадобится отрицательная добавка. На самом деле, в силу рис. 6 и 10 вклады диаграмм на рис. 7, в и г (при р = 0) в точности гасят друг друга, и нам остается только потребовать, чтобы вклады диаграмм на рис. 8 полностью компенсировали друг друга — тогда полная вероятность будет равна единице. Из сказанного ясно, что амплитуды, отвечающие диаграммам, в которых два фермиона поменялись местами, должны вычитаться. Это может быть верно только при следующем условии: если в некотором состоянии имеется частица- спектатор, то вероятность появления в том же состоянии другой частицы при рождении пары уменьшается для фермионов; если для бозонов амплитуда увеличивалась до 1 + 1 = 2, то для фермионов она падает до 1 - 1 = 0. Правило состоит в том, что если имеется частица в некотором состоянии, то при рождении пары в этом состоянии не может возникнуть другая частица; присутствие частицы не позволяет произойти тому, что вы ожидали, и величина вероятности изменяется в нужную сторону. Таким образом, мы на конкретном примере продемонстрировали связь спина со статистикой и, в частности, показали, что она должна быть разной для частиц с нулевым спином и спином Мы использовали теорию относительности и квантовую механику и получили соотношения, вытекающие из уравнения Дирака. Продолжим обсуждение этих вопросов, чтобы еще яснее представить себе, почему все это происходит.
|
1 |
Оглавление
|