§ 2. Выпуклые множества

2.1. Рассмотрим множество лежащее в -мерном евклидовом пространстве Множество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками оно содержит соединяющий их отрезок

Если выпуклое множество и точки содержатся в то в содержится и их выпуклая линейная комбинация

Общая часть произвольного числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.

2.2. Говорят, что гиперплоскость — разделяет множества если для всех и для всех Если все неравенства, входящие в определение, будут строгими, то говорят, что гиперплоскость строго разделяет множества

Теорема 2.1 (теорема о строго разделяющей гиперплоскости). Пусть произвольные выпуклые замкнутые множества без общих точек, из которых хотя бы одно ограничено. В этих предположениях существует гиперплоскость, строго разделяющая множества

2.3. Точка множества называется крайней, если не существует двух различных точек из таких, что

где

Будем говорить, что множество является выпуклой оболочкой множества если оно состоит из всевозможных выпуклых линейных комбинаций

Здесь произвольная конечная система точек из

Теорема 2.2. Если некоторые множества, то

Теорема 2.3 (теорема о представлении). Пусть выпуклое замкнутое ограниченное множество и совокупность его крайних точек. Тогда является выпуклой оболочкой множества

Теорема 2.4. Всякое непустое выпуклое замкнутое ограниченное множество содержит хотя бы одну крайнюю точку.