Кручение вала в упругопластической стадии.

Если напряжения при кручении

где — предел текучести при сдвиге (кручении), то в материале вала возникнут пластические деформации.

На рис. 7.9 показаны кривые деформирования при кручении (зависимости ). Они могут быть получены при кручении тонкостенных труб, для которых можно считать известным значение касательных напряжений при заданной величине крутящего момента:

где — средний радиус и толщина трубы.

Приближенно кривые деформирования при кручении могут быть найдены из обычных кривых деформирования, если положить

где — напряжение и деформация при растяжении образцов. Часто для упрощенных оценок принимается кривая деформирования без участка упрочнения (рис. 7.9, б).

Рис. 7.9. Кривые деформирования при кручении ( — предел текучести на срез, — предел прочности на срез): а — экспериментальвая кривая деформирования; б — кривая деформирования без упрочнения; в — кривая деформирования с линейным упрочнением

Рассмотрим кручение сплошного вала при наличии пластических деформаций. При крутящем моменте

(25)

впервые появляется пластическая деформация на наружной поверхности вала.

Эксперименты показывают, что при возникновении пластичности кинематическая картина деформаций вала остается неизменной — сечения остаются плоскими, радиальные направления до деформации остаются радиальными и после деформации.

Рассмотрим упрощенную диаграмму деформирования без упрочнения. При в сечении возникают две зоны (рис. 7.10). При (зона упругих деформаций)

При (зона пластических деформаций)

Из условия равновесия имеем

или

Из последнего соотношения получим

Зависимость (28) показывает, что при возрастании крутящего момента зона упругих деформаций в центре вала уменьшается.

Рис. 7.10. Распределение касательных напряжений при кручении вала (материал не обладает упрочнением); а — предельное значение крутящего момента ; в — распределение напряжений при действии предельного момента

При наступает предельное состояние — наибольшее (предельное) значение крутящего момента

Сопоставляя равенства (25) и (29), получаем

Развитие пластических деформаций увеличивает приблизительно на 30% сопротивление вала. Угол закрутки вала на единицу длины (см. (4))

Применяя это равенство при находим

При приближении величина и деформация вала резко возрастает.

Более полное описание свойств материала дает схематизация в виде кривой деформирования с линейным упрочнением (рис. 7.9, в). Распределение касательных напряжений при действии предельного момента показано на рис. 7.11; имеем

где — предел прочности на срез (сдвиг).

Из условия равновесия

После интегрирования получаем

Из сравнения равенств (29) и (33) устанавливаем влияние учета упрочнения материала. Например, если

то

В общем случае для расчета применяется метод переменных параметров упругости (рис. 7.12).

Рис. 7.11. Определение предельного момента при кручении вала из материала с линейным упрочнением

Рис. 7.12. Применение метода переменных параметров упругости

В первом приближении рассматривается вал из упругого материала.

Из соотношения (21) находим

Затем

Далее по равенству (20) находим второе приближение:

и, следовательно,

и т. д. Обычно достаточную точность дает второе - третье приближение. В рассматриваемом случае можно найти замкнутое решение, если учесть линейное распределение деформации сдвига по радиусу. Однако в более сложных случаях (например, при действии крутящего момента и осевой силы) решение приходится выполнять методом переменных парахметров упругости.