Общее дифференциальное уравнение устойчивости стержня и краевые условия.

Рассмотрим более общий случай, когда на стержень действуют осевая сила N, приложенная на конце стержня, распределенная осевая нагрузка (рис. 12.34) и поперечные нагрузки Р. Изгибающий момент в сечении z

где — изгибающий момент от поперечной нагрузки. Подставляем (179) в уравнение (163):

Дифференцируя это равенство по z, получаем

где — перерезывающая сила от поперечных нагрузок.

Рис. 12.34. Определение изгибающего момента в сечении стержня

Повторяя операцию дифференцирования, находим

Предполагается, что поперечная распределенная пагрузка отсутствует. Уравнение (182) представляет общее дифференциальное уравнение устойчивости стержня.

Рис. 12.35. Краевые условия в задачах устойчивости стержней: а — расчетная схема; б — условная перерезывающая сила

Рассмотрим краевые условия для уравнения устойчивости на примере консольного стержня. При стержень имеет заделку, и потому

На конце изгибающий момент отсутствует:

Для перерезывающей силы из уравнения (181) получаем при

Условная перерезывающая сила на конце стержня появляется за счет проекции усилия N (рис. 12.35).

Отметим, что уравнение (182) является дифференциальным уравнением четвертого порядка, и для его однозначного решения должны быть указаны четыре краевых условия (обычно по два при ).

Замечания. 1. Напомним правило дифференцирования определенного интеграла по параметру:

Это правило легко установить, рассматривая приращение

Соотношение (184) применялось при дифференцировании уравнения (180).

2. Следует обратить внимание, что при выводе краевого условия (183) направление усилия N оставалось неизменным. Если усилие N считать направленным по касательной к оси стержня («следящая» нагрузка), то решение задачи усложняется.