Продольные колебания стержня.

В некоторых случаях в стержнях возникают продольные колебания, при которых сечения стержня, оставаясь плоскими, перемещаются вдоль оси стержня (передача ультразвукового возбуждения, удар по торцу стержня и др.). Дифференциальное уравнение продольных колебаний получается из уравнений движения элемента стержня (рис. 12.12):

где — масса элемента ( — плотность, F — площадь поперечного сечения) — усилие в сечении стержня; w — перемещение точек оси стержня. Для упругих колебаний

Из соотношения (91) получаем

Это и есть уравнение продольных колебаний стержня.

Для определения частот и форм собственных колебаний считаем

где — круговая частота продольных колебаний. Тогда для амплитудных смещений получаем следующее уравнение (соотношение (93) подставляется в уравнение (94)):

Для стержня постоянного сечения (рис. 12.13)

где

Решения уравнения (96) с помощью нормальных фундаментальных функций записывается так:

Рассмотрим некоторые примеры.

Рис. 12.13. Продольные колебания стержня постоянного сечения

Рис. 12.14. Смещение сечения стержня как функция расстояния и времени

Пример. Рассмотрим колебания стержня постоянного сечения, свободного от закрепления. Так как усилия в сечениях отсутствуют, то краевые условия таковы:

Из решения (98) и условий (99) получаем

откуда следует, что

Частота продольных колебаний с учетом соотношения (97) равна

На основании соотношений (94) и (100) при имеем

где — период колебаний (время полного колебания).

На рис. 12.14 даны значения в различные моменты времени. В момент времени смещение при равно Через промежуток времени это перемещение достигнет конца Можно считать «скорость распространения деформации» равной

Величина

представляет скорость распространения звука (упругих колебаний). Она определяется характеристиками материала: модулем упругости Е и плотностью . Для многих конструкционных материалов (стали, титана, алюминия) она практически одинакова и составляет а

Рис. 12.15. Продольные колебания консольного стержня

Продольные колебания стержней переменного сечения (рис. 12.15).

Перейдем к интегральным уравнениям, для чего проинтегрируем сначала уравнение (95) от 0 до 2. Получим

где

— величина амплитудного усилия при Разделив обе части уравнения (104) на и снова интегрируя от 0 до находим

Это и есть интегральное уравнение продольных колебаний стержня переменного сечения. Начальные параметры определяются из краевых условий.

Рассмотрим колебания консольного стержня. Краевые условия будут такими:

Из соотношения (104) и условия для находим

и уравнение (106) можно представить в виде однородного краевого интегрального уравнения

где интегральный оператор равен

Уравнение (107) решается методом последовательных приближений по схеме

где — исходное и последующее приближения. Из условия

находим

Простая приближенная формула для низшей частоты продольных колебаний получается, если принять

Функция удовлетворяет краевым условиям

Переходя к безразмерной переменной получим из формулы (109) при постоянных

Для стержня постоянного сечения

или

Точное решение дает

Погрешность приближенной формулы невелика.

Замечание. Применение исходного приближения, удовлетворяющего краевым условиям в методе интегральных уравнений, совсем необязательно. При программировании на ЭВМ в качестве исходной функции можно принять любое выражение, например так как уже следующее приближение 2) будет удовлетворять всем краевым условиям.