36. Вариационные методы

Введение.

После приложения внешней нагрузки произойдет деформация конструкции (тела) и установится равновесие. Состояние равновесия можно проверить по выполнению условий равповесия каждого элемента тела, но можно использовать и другой путь: проанализировать поведение системы при малых возможных отклонениях (вариациях). Именно этим путем в теоретической механике (механике твердого, недеформируемого тела) были получепы общие уравнения равновесия Лагранжа (начало возможных перемещений). Состояние упругой деформированной системы может быть однозначно описано перемещениями ее точек в процессе деформации — функциями . Полная потенциальная энергия, как будет показано в дальнейшем, может рассматриваться как функциопал

При вариациях функций и, v, w (малых отклонениях, согласованных со связями), которые обозначаются изъявляется величина функционала. Считая отклонения достаточно малыми, можно записать

Состояние равновесия системы характеризуется условием

Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, остановимся вкратце на математической стороне вопроса.

Пусть имеется функционал, зависящий от функции

где F — некоторая функция, зависящая от функции ее первых производных и независимого переменного Например, если представляет кривую, проходящую через две заданные точки А и В (рис. 9.9), то функционал

равен длине кривой L.

Рассмотрим другую функцию — функцию сравнения, которая проходит через те же точки, и назовем вариацией функции

Вариацию функции можно дифференцировать, причем

Операции варьирования и дифференцирования переставимы; означает вариацию функции . Вариация функционала (53) равпа приращению фупкционала в результате вариации функции и ее производных:

Считая вариации функции малыми величинами и рассматривая как независимые аргументы функции F, запишем

где - величина более высокой степени малости относительно

Теперь, используя соотношение (57) и пренебрегая

находим из равенства (56)

Замечание. Поясняя равенство (57), напомним, что функция многих переменных может быть разложена в ряд в окрестности точки по формуле

где .

Равенство (57), в сущности, совпадает с приведенной формулой. Например, если

то

В равенстве (57) отсутствует частная производная но я, так как величина варьируется.