Собственные колебания стержня с несколькими сосредоточенными массами.

Рассмотрим сначала колебания балки с двумя сосредоточенными массами (рис. 12.4). Воспользуемся статической аналогией и будем считать, что в отклоненном положении на массы действуют усилия

где — амплитудные отклонения точек закрепления масс.

Рис. 12.4. Колебание упругой системы с двумя сосредоточенными массами

Рис. 12.5. Формы колебаний, соответствующие двум частотам колебаний двухмассовой системы

Прогибы стержня под действием усилии и (рис. 12.5) равны

где — коэффициенты влияния (прогиб в сечении i от единичной силы в сечении они определяются с помощью интеграла Мора).

Напомним, что коэффициенты влияния удовлетворяют условиям взаимности

Равенства (24) приводят к системе однородных уравнений относительно :

Эту же систему можно получить другим путем, считая, что на стержень действуют силы инерции масс

Предполагая далее

получаем соотношения (24).

Однородная система уравнений (26) будет иметь отличное от нуля решение в том случае, если определитель системы равен пулю:

Из условия (27) получаем характеристическое уравнение для определения частот колебаний

Из этого уравнения относительно находим два значения круговой частоты:

Низшей частоте соответствует первая форма колебания, когда обе массы двигаются в одну сторону; частоте отвечает движение грузов в разные стороны (вторая форма колебаний, рис. 12.5).

Рис. 12.6. Колебание многомассовой системы

Если определитель системы уравнений равен нулю, то соотношение между прогибами при данной частоте можно получить из любого (одного) уравнения системы (26). Например, из первого уравнения находим

Величина отклонений при данной частоте колебаний остается неопределенной, но соотношение амплитудных прогибов масс — форма колебаний — строго определено равенствами (31).

Рассмотрим теперь колебания упругой системы с сосредоточенными массами (рис. 12.6).

Амплитудный прогиб i-й массы

Составляя выражения прогиба для всех масс придем к системе однородных уравнений, которую представим в матричной форме:

где

— единичная матрица порядка — вектор амплитудных прогибов.

Частотное уравнение получается после приравнивания нулю определителя системы:

Уравнение (34) дает значения собственных частот колебаний и каждой частоте соответствует своя форма колебаний. Если в определителе уравнения (34) сохранить только члены, стоящие на главной диагонали, то получается приближенная зависимость для первой частоты

где — частота колебания системы (балки) при наличии только одной массы . Формула (35) дает обычно хорошее приближение для первой частоты, меньшее действительного значения. Отметим, что .