Изгибные колебания стержней постоянного сечения.

Для стержней постоянного сечения при колебании в главной плоскости (рис. 12.8) уравнение изгибных колебаний (41) будет таким:

Рассмотрим в качестве примера балку, закрепленную по концам на двух шарнирных опорах (см. рис. 12.8).

Рис. 12.7. К выводу уравнения колебаний стержня

Рис. 12.8. Колебания стержня постоянного сечения: а — расчетная схема; б — две первые формы колебаний

Краевые условия для амплитудного прогиба таковы:

т. е. прогибы и изгибающие моменты на концах балки отсутствуют.

Уравнению (43) и условиям (44) соответствует функция

Внося выражение (45) в уравнение (43), находим

Каждому значению к соответствует определенная частота колебаний

Наименьшая круговая частота колебаний получается при к = 1:

Первая частота колебаний (в герцах) равна

Из формул (45) и (46) вытекают выводы, справедливые и при других условиях закрепления стержня. Система с непрерывным распределением масс имеет бесчисленное количество частот и форм колебаний. Каждой собственной частоте соответствует своя форма колебаний . Спектр собственных частот упругой системы — дискретный, как это следует из равенства (46). Разберем общее решение уравнения (43), которое запишем в виде

Непосредственным дифференцированием можно проверить, что функции

являются частными решениями уравнения (49). Из них можно составить нормальные фундаментальные функции (функции Крылова)

удовлетворяющие условию

Например,

Общее решение уравнения (49) будет таким:

Начальные параметры определяются из краевых условий. Для определения частоты получается определитель второго порядка; два из четырех краевых факторов известны заранее.