ГЛАВА 8. ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ
29. Гипотеза плоских сечений и нормальные напряжения изгиба
Силовые факторы в сечении стержня.
Рассмотрим стержень (крыло самолета, лопатку компрессора и т. д.) под действием поперечной нагрузки (рис. 8.1). Ось z направлена вдоль оси стержня, оси х, у лежат в плоскости А поперечного сечения.
Проведем сечение (см. рис. 8.1) и заменим отброшенную правую часть тела равнодействующими внутренних сил (рис. 8.2).
Рис. 8.1. Лопатка компрессора под действием изгибающей нагрузки
Рис. 8.2. Силовые факторы в сечении стержня
В общем случае для равновесия оставленной части тела необходимо и достаточно приложить три составляющие вектора усилия и три составляющие вектора момента. Векторы Q и 
называются поперечными или перерезывающими силами; N — продольная или нормальная сила; моменты М и 
называются изгибающими моментами; 
— крутящий момент (см. рис. 8.2).
В пределах упругости материала кручение можно рассматривать независимо от других деформаций; оно было описано ранее, и потому в дальнейшем считаем 
Положительные направления изгибающих моментов соответствуют положительным направлениям вращения, принятым для правосторонней системы координат. Согласно этому, момент или вращение считается положительным в том случае, когда поворот осуществляется против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси к началу координат (рис. 8.2). Усилия 
будем считать положительными, если они направлены вдоль осей х и у соответственно (см. рис. 8.2) .
Замечание. В приведенном соглашении о знаках силовых факторов существенно, что рассматриваются усилия, действующие на левую часть стержня (нормаль к сечению идет в положительном направлении оси z). В силу равенства действия и противодействия в таком же сечении, но принадлежащем правой части стержня (рис. 8.3), силы и моменты будут точно такими же, но противоположно направленными. Естественно, что для правой части стержня (внешняя нормаль к сечению направлена вдоль отрицательного направления оси z) положительные направления будут противоположными.
Рис. 8.3. Силовые факторы, приложенные к левой и правой частям стержня: а — положительные силовые факторы в сечении стержня; б — правило знаков для перерезывающей силы и изгибающего момента
Подобное обстоятельство встречалось, ранее (разд. 3) при установлении знаков напряжений.
Таким образом, правило знаков зависит от направления внешней нормали к сечению и принятой системы координат. На рис. 8.3 показаны положительные силовые факторы в сечении стержня.
Гипотеза плоских сечений.
Точное решение задачи о распределении нормальных и касательных напряжений при изгибе стержня представляет большие трудности.
В инженерной практике нашло широкое признание приближенное решение, основанное на знаменитой «гипотезе плоских сечений», впервые использованной (в простейших случаях) еще в работах Бернулли и Эйлера.
Рис. 8.4. Распределение упругого смещения в поперечном сечении стержня при изгибе
Гипотеза плоских сечений состоит в следующем: точки плоскости поперечного сечения после деформации лежат в одной плоскости. Физически это означает, что сечение стержня можно представить как тонкую, абсолютно жесткую пластинку, получающую в результате деформации стержня линейное смещение и углы поворота. Перемещение точки А поперечного сечения (рис. 8.4) вдоль оси z по гипотезе плоских сечений будет таким:
где 
— углы поворота сечения относительно осей х и у соответственно, 
— смещение вдоль оси z точек оси стержня.
Величины 
одинаковы для всех точек сечения, но в общем случае зависят от z. Углы упругого поворота сечения в формуле (1) считаются малыми, так что
Замечание. Гипотеза плоских сечений является важнейшим приближенным методом описания деформации изгиба и растяжения стержней. Исследования показывают, что основой гипотезы плоских сечений является предположение о малости углов сдвига элементов по сравнению с углами их поворотов.
При изгибестержней из адизотроппых материалов, у которых модуль сдвига может быть на порядок величины меньше модуля упругости при растяжении, деформации сдвига возрастают и область применения гипотезы плоских сечений становится ограниченной.
