§ 127. Зоны Френеля

Вычисления по формуле (126.2) представляют собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.

Чтобы понять суть метода, разработанного Френелем, определим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке Р сферической волной, распространяющейся в изотропной однородной среде из точечного источника S (рис. 127.1). Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой . Воспользовавшись этим, разобьем изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличается на (k — длина волны в той среде, в которой распространяется волна). Обладающие таким свойством зоны носят название зон Френеля.

Из рис. 127.1 видно, что расстояние от внешнего края зоны до точки Р равно

(127.1)

(b — расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р).

Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т. е. от точек, лежащих в середине зон или у внешних краев зон и т. д.), находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на .

Рис. 127.1.

Вычислим площади зон. Внешняя граница зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты (рис. 127.2). Обозначим площадь этого сегмента через Тогда площадь зоны можно представить в виде

где — площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей зоны.

Рис. 127.2.

Из рис. 127.2 видно, что

(а — радиус волновой поверхности, — радиус внешней границы m-й зоны). Возведя скобки в квадрат, получим

(127.2)

Отсюда

Ограничившись рассмотрением не слишком больших , можно ввиду малости X пренебречь слагаемым, содержащим . В этом приближении

(127.4)

Площадь сферического сегмента равна радиус сферы, h — высота сегмента). Следовательно,

а площадь зоны

Полученное нами выражение не зависит от т. Это означает, что при не слишком больших площади зон Френеля примерно одинаковы.

Из равенства (127.2) можно найти радиусы зон. При не слишком больших высота сегмента а, поэтому можно считать, что Подставив значение (127.4) для получим для радиуса внешней границы зоны выражение

(127.5)

Если положить , то для радиуса первой (центральной) зоны получается значение . Радиусы последующих зон возрастают как

Итак, площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние от зоны до точки Р медленно растет с номером зоны . Угол между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р хакже растет с . Все это приводит к тому, что амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом . Даже при очень больших , когда площадь зоны начинает заметно расти с (см. (127.3)), убывание множителя перевешивает рост так что продолжает убывать. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на Поэтому амплитуда А результирующего колебания в точке Р может быть представлена в виде

(127.6)

В это выражение все амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от четных зон — с другим.

Запишем выражение (127.6) в виде

Вследствие монотонного убывания можно приближенно считать, что

Тогда выражения в скобках будут равны нулю, и формула (127.7) упрощается следующим образом:

(127.8)

Согласно формуле (127.8) амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р всей сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной. Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна т. е. в два раза превзойдет амплитуду (127.8). Соответственно интенсивность света в точке Р будет в этом случае в четыре раза больше, чем в отсутствие преград между точками S и Р.

Теперь решим задачу о распространении света от источника S к точке Р методом графического сложения амплитуд. Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны, аналогичные зонам Френеля, но гораздо меньшие по ширине (разность хода от краев зоны до точки Р составляет одинаковую для всех зон малую долю ). Колебание, создаваемое в точке Р каждой из зон, изобразим в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания (см. § 55 1-го тома). Амплитуда колебаний, создаваемых такими зонами в точке Р, медленно убывает при переходе от зоны к зоне. Каждое следующее колебание отстает от предыдущего по фазе на одну и ту же величину. Следовательно, векторная диаграмма, получающаяся при сложении колебаний, возбуждаемых отдельными зонами, имеет вид, показанный на рис. 127.3.

Если бы амплитуды, создаваемые отдельными зонами, были одинаковыми, конец последнего из изображенных на рис. 127.3 векторов совпал бы с началом первого вектора. В действительности значение амплитуды, хотя и очень слабо, но убывает, вследствие чего векторы образуют не замкнутую фигуру, а ломаную спиралевидную линию.

В пределе при стремлении ширины кольцевых зон к нулю (количество их будет при этом неограниченно возрастать) векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к точке С (рис. 127.4).

Фазы колебаний в точках 0 и отличаются на (бесконечно малые векторы, образующие спираль, направлены в этих точках в противоположные стороны). Следовательно, участок спирали соответствует первой зоне Френеля. Вектор, проведенный из точки О в точку 1 (рис. 127.5, а), изображает колебание, возбуждаемое в точке Р этой зоны. Аналогично, вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (рис. 127.5, б), изображает колебание, возбуждаемое второй зоной Френеля. Колебания от первой и второй зон находятся в противофазе; в соответствии с этим векторы и 12 направлены в противоположные стороны.

Колебание, возбуждаемое в точке Р всей волновой поверхностью, изображается вектором ОС (рис. 127.5, в). Из рисунка видно, что амплитуда в этом случае равна половине амплитуды, создаваемой первой зоной. Этот результат мы получили ранее алгебраически (см. формулу (127.8)). Заметим, что колебание, возбуждаемое внутренней половиной первой зоны Френеля, изображается вектором ОБ (рис. 127.5, г). Таким образом, действие внутренней половины первой зоны Френеля не эквивалентно половине действия первой зоны. Вектор О В в раз больше вектора ОС. Следовательно, интенсивность света, создаваемая внутренней половиной первой зоны Френеля, в два раза превышает интенсивность, создаваемую всей волновой поверхностью.

Рис. 127.3.

Рис. 127.4.

Рис. 127.5.

Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить на пути световой волны пластинку, которая перекрывала бы все четные или нечетные зоны, то интенсивность света в точке Р резко возрастает. Такая пластинка, называемая зонной, действует подобно собирающей линзе. На рис. 127.6 изображена пластинка, перекрывающая четные зоны. Еще большего эффекта можно достичь, не перекрывая четные (или нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на

Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным или нечетным зонам, отличается на надлежащим образом подобранную величину. Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой.

По сравнению с перекрывающей зоны амплитудной зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности света — в четыре раза.