В точке, положение которой относительно элемента 
определяется радиусом-вектором 
(рис. 42.1), отдельный носитель тока 
создает поле с индукцией
(см. формулу (41.5)). Здесь v — скорость хаотического движения, а 
— скорость упорядоченного движения носителя.
Значение магнитной индукции, усредненное по носителям тока, заключенным в элементе 
равно
Умножив это выражение на число носителей в элементе провода (равное 
), получим вклад в поле, вносимый элементом 
(мы внесли скалярные множители 
под знак векторного произведения).
Приняв во внимание, что 
можно написать
Введем вектор 
направленный по оси элемента тока длиной 
в сторону, в которую течет ток. Модуль этого вектора равен 
Поскольку направления векторов j и 
совпадают, имеет место равенство
Произведя такую замену в формуле (42.1), получим
Наконец, учтя, что произведение 
дает силу тока 
в проводе, придем к окончательному выражению, определяющему магнитную индукцию поля, создаваемого элементом тока длины 
Мы вывели формулу (42.3) из соотношения (41.5). В действительности формула (42.3) была установлена экспериментально до того, как стало известно соотношение (41.5). Более того, это соотношение было выведено из формулы (42.3).
Био и Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, текущих по тонким проводам различной формы.
рис. 42.1
Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными элементарными участками токов. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины 
Лаплас получил формулу (42.3). В связи с этим соотношение (42.3) носит название закона Био—Савара—Лапласа или более кратко закона Био—Савара.
Рис. 42.2.
Рис. 42.3.
Из рис. 42.1 видно, что вектор 
направлен перпендикулярно к плоскости, проходящей через 
и точку, в которой вычисляется поле, причем так, что вращение вокруг 
в направлении 
связано с 
правилом правого винта. Модуль 
определяется выражением
где а — угол между векторами 
.
Применим формулу (42.3) для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 42.2). Все векторы 
в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж). Поэтому сложение векторов 
можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии 
от провода.
Из рис. 42.2 видно, что
Подставим эти значения в формулу (42.4):
Угол a для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до 
.
Следовательно,
Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой
Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей (рис. 42.3).
. В этом элементе содержится 
носителей тока (
— число носителей в единице объема, S — площадь поперечного сечения провода в том месте где взят элемент 
).
