ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

20. Преобразование координат в трехмерном пространстве.

Линейным преобразованием с переменными называется преобразование вида:

Можно толковать это преобразование как переход от некоторого вектора -мерного пространства к другому вектору Можно иначе толковать как координаты точки в -мерном пространстве, а преобразование (1) — как переход от одной точки к другой.

Можно толковать (1) еще и иначе, а именно: считать, что суть составляющие одного и того же вектора (координаты одной и той же точки), но при различном выборе осей Формулы (1) дают при этом формулы преобразования составляющих (координат) при переходе от одной координатной системы к другой. Раньше мы неоднократно встречались с формулами вида (1) при

Настоящая глава в своей первой части и будет посвящена подробному рассмотрению линейного преобразования вида (1). Для большей ясности мы начнем с рассмотрения вещественного трехмерного пространства, а затем перейдем к общему случаю -мерного пространства и комплексных составляющих. В случае трехмерного пространства мы начнем рассмотрение с того наиболее простого случая, когда преобразованию (1) соответствует переход от одних прямоугольных осей к другим таким же. Откладывая векторы от начала координат, мы можем считать, очевидно, или составляющими вектора, или координатами его конца.

Как известно из аналитической геометрии, формулы преобразования прямолинейных прямоугольных координат имеют вид:

где суть косинусы углов, образованных новыми осями с прежними; определяются по следующей таблице:

Как известно, таблица коэффициентов (3) обладает в данном случае тем свойством, что сумма квадратов элементов каждой строки и столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк или разных столбцов равна нулю. Величина определителя равна, очевидно [5], объему прямоугольного параллелепипеда с ребрами, равными единице и направленными по новым координатным осям, т. е. эта величина равна единице, если ориентировки осей одинаковы и если они различны. Преобразование, дающее обратный переход от будет, очевидно, иметь вид:

Иначе говоря, преобразование, обратное (2), получается простой перестановкой строк и столбцов таблицы его коэффициентов. Определитель этого обратного преобразования, очевидно, равен определителю преобразования (2).

Покажем теперь, что упомянутое выше свойство коэффициентов преобразования (2) может быть получено при выполнении одного требования, которое непосредственно вытекает из геометрической сущности вопроса, а именно — поставим себе следующую задачу: найти все вещественные преобразования вида (2) такие, что

Такая постановка задачи дает возможность обобщить рассмотренные нами выше преобразования на случай пространства с любым числом измерений.

Покажем, что наши преобразования, требуемые новой задачей, совпадают с теми, которые нами рассмотрены были выше, т. е. покажем, что требование (4) приведет к упомянутым выше соотношениям для коэффициентов Подставляя выражения (2) в левую часть соотношения (4), раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при квадратах переменных единице, а при произведении различных коэффициентов — нулю, мы получим как раз шесть соотношений вида:

где

т. е. сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна нулю. Эти условия называются обычно условиями ортогональности по столбцам. Таким образом, элементы каждого столбца равны направляющим косинусам некоторого направления и направления, соответствующие различным столбцам, взаимно ортогональны. Отсюда непосредственно следует, что в рассматриваемом случае преобразование (2) совпадает с рассмотренным выше, и свойство ортогональности имеет место не только по отношению к столбцам, но и по отношению к строкам.

Формулы (2) мы можем толковать не как преобразование координат в неизменном пространстве, а как преобразование пространства при неизменности координатных осей. Положим сначала, что определитель преобразования равен т. е. обе системы координатных осей имеют одну и ту же ориентировку. Мы можем при этом повернуть пространство, как твердое целое, вокруг начала вместе с осями так, чтобы эти оси совпали с осями которые мы считаем неподвижными при этом вращении и к которым мы относим координаты всякой точки как до вращения, так и после него. Если некоторая точка М имела до вращения координаты то в результате вращения эта точка займет новое положение М и будет иметь новые координаты Поскольку точка М движется вместе с координатными осями координаты точки М относительно осей с которыми совпали оси в результате вращения, будут совпадать с координатами точки М относительно осей до вращения. Мы видим, тагим образом, что формулы (2) в случае определителя представляют собой преобразование координат любой точки в резулыате произведенного вращения пространства.

Положим теперь, что определитель равен (-1). Вместо преобразования (2) рассмотрим преобразование

Его коэффициенты по-прежнему обладают свойствами (5), но определитель из коэффициентов уже равен т. е. этому преобразованию соответствует вращение пространства вокруг начала. Чтобы получить координаты нам надо совершить еще преобразование:

а такое изменение знаков у всех координат] есть преобразование симметрии относительно начала. Итак, в случае определителя преобразованию (2) соответствует некоторое вращение пространства вокруг начала с последующей симметрией относительно начала.

Мы видели выше, что девять коэффициентов должны удовлетворять шести соотношениям (5). Отсюда следует, что они должны выражаться через три независимых параметра. Укажем на один из возможных выборов этих параметров в случае вращения пространства вокруг начала.

Рис. 1.

Введем в рассмотрение две системы координатных осей: одну неподвижную, к которой относятся все координаты, и другую неизменно связанную с вращающимся пространством. Чтобы определить вращение, надо установить три параметра, которые определяли бы положение второй системы осей относительно первой. Пусть ON (рис. 1) — пересечение плоскости с плоскостью Возьмем на этой прямой определенным образом выбранное направление, и пусть а — угол отсчитываемый от Введем еще угол и угол Эти три угла вполне характеризуют положение второй системы осей относительно первой, т. е. вполне характеризуют произведенное вращение. Будем обозначать его следующим символом: Из предыдущего непосредственно следует, что наше движение есть результат последовательно проведенных трех следующих движений: 1) вращение вокруг оси на угол а; 2) вращение вокруг нового положения оси на угол вращение вокруг новой оси на угол 7. Эти три угла называются обычно углами Эйлера. Заметим, что для этих углов мы можем написать следующие пределы их изменения:

Если движение сводится просто к повороту вокруг оси на угол и в этом смысле при любом мы имеем:

Это обстоятельство указывает на то, что в некоторых случаях параметры соответствуют вращениям пространства вокруг начала не вполне однознгтп. Различным значениям параметров соответствуют одни и те же вращения. Нетрудно вывести формулы, выражающие коэффициенты ерез тригонометрические функции углов [см. 62]. В дальнейшем мы будем иметь и другой выбор параметров, характеризующих вращение пространства вокруг начала, и вернемся еще к углам Эйлера.