73. Композиция двух линейных представлений группы.

Пусть имеется некоторая группа G с элементами и положим, что пост роены два линейных представления этой группы:

и

где значок а пробегает конечную или бесконечную совокупность значений.

Обозначим через и матрицы преобразований (127) и (128) и составим их прямое произведение

Покажем, что матрицы также дают некоторое линейное представление нашей группы Q. Действительно, всякому элементу группы G соответствует матрица произведению будет соответствовать матрица которая определяется в силу (123) формулой:

Но раз матрицы и дают линейное представление группы, то

и, следовательно:

т. е. согласно (129):

Таким образом, произведению элементов соответствует как раз произведение соответствующих матриц и эти матрицы дают новое линейное представление группы G. Заметим при этом, что единичному элементу из G соответствует при этом прямое произведение единичных матриц т. е. единичная матрица

Составим произведений и подвергнем каждый из сомножителей преобразованиям (127) и (128). Мы будем иметь:

или, раскрывая скобки:

т. e. если суть объекты в линейных представлениях, определяемых матрицами то будут объектами в линейном представлении той же группы, определяемом матрицами Если матрицы и давали неприводимые линейные представления, то матрица не обязательно будет давать неприводимое Линейное представление. В дальнейшем мы подробно рассмотрим тот случай, когда группа G есть группа вращения трехмерного пространства, а матрицы и суть различные неприводимые линейные представления этой группы, построенные нами в [69]. Покажем что в этом случае произведение

будет приводимым, и определим, из каких неприводимых представлений оно будет состоять.

В качестве примера рассмотрим уравнение Шредингера для случая двух электронов, находящихся в поле положительного ядра. Это уравнение имеет вид: 2

где

причем постоянные имеют обычные значения. Второе слагаемое в выражении V происходит от взаимодействия электронов. Если мы пренебрежем в первом приближении этим взаимодействием, то уравнение будет:

где

Положим, что отдельные уравнения:

имеют собственные значения и соответствующие собственные функции

т. е.

Если мы подставим в уравнение (132):

то получим, очевидно, в силу (134):

т. е. уравнение (132) будет иметь собственную функцию , которой будет соответствовать значение Левая часть уравнений (133) содержит оператор Лапласа и расстояние точки до начала координат, и, следовательно, эти левые части не меняются, если мы совершим вращение пространства вокруг начала. Может случиться, что характеристическому числу в первом из уравнений (133) соответствует несколько собственных функций Все эти функции, являясь решением уравнения, дадут некоторое линейное представление группы вращения, совершенно так же, как в однородные гармонические полиномы давали нам также представление группы вращения. Пусть это будет некоторое представление , Совершенно так же решения второго из уравнений (133) при заданном собственном значении дадут нам некоторое представление группы вращения. Произведение согласно предыдущему, даст нам линейное представление группы вращения, совпадающее с прямым произведением и для физической характеристики соответствующего собственного значения уравнения (132) представляется существенным выделить из этого представления те неприводимые представления, на которые оно распадается. Это обстоятельство играет существенную роль в теории возмущений.