31. Процесс ортогонализации векторов.

Положим, что нам даны каких-нибудь линейно-независимых векторов Совокупность векторов вида:

где произвольные коэффициенты, определяет все наше пространство, если и некоторое подпространство измерения , если Покажем, что мы всегда можем построить ортонормированную систему векторов которая образует то же подпространство что и векторы

Иначе говоря, должны выражаться линейно через и, наоборот, должны ныражаться через Эти векторы мы можем построить по следующей схеме:

где

Вектор получается из простым делением на длину и, следовательно, длина равна единице. Затем строится вектор по указанной выше формуле. Из самого его определения непосредственно вытекает, что он ортогонален с

Деля вектор на его длину, получаем вектор Затем дальше строим вектор по указанной выше формуле. Из нее непосредственно вытекает, что он ортогонален с

Действительно, в силу ортогональности и получим, например:

Деля вектор на его длину, получаем вектор и т. д.

Все вновь построенные векторы выражаются линейно через Нетрудно видеть и наоборот, что выражаются через . Для этого достаточно только постепенно решать предыдущие равенства относительно и т. д.

Заметим также, что ни один из вновь построенных векторов не может обратиться в нуль. Действительно, если бы мы на некотором шаге вычислений получили вектор равный нулю, то, так как он выражается линейно через причем коэффициент при в этом линейном выражении равен единице, то мы получили бы линейную зависимость между векторами что противоречит тому условию, что эти векторы линейно-независимы.

Напомним, что если имеется некоторая совокупность попарно ортогональных векторов, отличных от нулевого вектора, то эти векторы линейно-независимы.

Если то дают полную ортонврмированную систему. Если же то для получения полной системы декартовых координат мы должны в дополнение к построенным векторам достроить еще векторов, которые были бы ортогональны и между собой и к векторам

Эти новые единичные векторы должны, таким образом, образовывать подпространство измерения ортогональное подпространству Новые искомые векторы и должны удовлетворять системе уравнений

Здесь мы имеем систему однородных уравнений с неизвестными, причем ранг этой системы равен , поскольку векторы линейно-независимы [12]. Эта система имеет линейно-независимых решений, т. е. мы получаем линейно-независимых векторов. Применяя к ним указанный выше процесс ортогонализации и приводя их длину к единице, мы и получим совместно с полную ортонормированную систему. Сделаем еще одно замечание. Подпространство образованное ортонормированной системой векторов может быть образовано и другой такой же системой. Действительно, достаточно для этого применить к системе векторов унитарное преобразование. Мы видим, таким образом, что процесс ортогонализации системы векторов может совершаться различным образом, и указанный выше прием дает лишь одну из таких возможностей.