41. Коммутирующие эрмитовские матрицы.

Пусть А и В — две эрмитовские матрицы. Посмотрим, при каких условиях и их произведение ВА будет эрмитовской матрицей. Составим матрицу, эрмитовски сопряженную с произведением ВА:

или, в силу эрмиговского характера А и В:

Для того чтобы ВА было эрмитовской матрицей, необходимо и достаточно, чтобы АВ совпадало с ВА, т. е. чтобы матрицы коммутировали.

Положим, что эрмитовские мафицы А и В приводятся к диагональной форме при помощи одного унитарного преобразования

Нетрудно видеть, что в этом случае они будут коммутировать

Покажем теперь, что и наоборот: если две эрмитовские матрицы коммутируют, то их можно при помощи одного и того же унитарного преобразования одновременно привести к диагональной форме, т. е. переместительность эрмитовских матриц является не только необходимым, но и достаточным условием возможности их одновременного приведения при помощи унитарного преобразования к диагональной форме. Итак, положим, что . Заметим при этом, что и подобные им матрицы будут также коммутировать. Действительно:

и точно такое же выражение получится для произведения

Положим, что за С мы выбрали унитарное преобразование, приводящее А к диагональной форме, и подвергли такому же преобразованию и матрицу В. Новые матрицы будут также коммутировать, и мы можем, таким образом, при доказательстве нашего предложения считать просто, что матрица А уже имеет диагональную форму, т. е. что элементы удовлетворяют условию

Обозначим через элементы матрицы В и запишем условие, что наши матрицы коммутируют:

В силу (189) условия эти будут иметь вид:

Если все числа различны, то из последних равенств; непосредственно следует, что при т. е. что матрица В также имеет диагональную форму, и предложение доказано.

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда среди чисел имеются одинаковые. Для определенности предположим, что числа эти распадаются на две группы одинаковых между собой чисел:

Из формулы (190) непосредственно следует, что в этом случае элементы могут быть отличны от нуля только тогда, когда или оба значка i и k больше или оба они не больше .

Таким образом, в данном случае матрица В имеет квазидиагональную форму:

где некоторая эрмитовская матрица порядка эрмитовская матрица порядка . В раскрытой форме мы можем написать матрицу В в виде:

Мы можем не меняя диагональной формы подвергать подпространство, образованное первыми ортами, любому унитарному преобразованию, и то же самое относится к подпространству, образованному последними ортами. Выберем эти унитарные преобразования и V так, чтобы матрицы В у и записались в диагональной форме. В общем мы будем иметь унитарное преобразование всего -мерного пространства, имеющее квазидиагональную форму

В силу сказанного выше, в новых координатах матрица А сохранит диагональную форму, а матрица В примет вид:

т. e. будет также иметь диагональную форму, наше предложение доказано.

Если мы теперь построим для наших коммутирующих матриц уравнения

то из предыдущего непосредственно следует, что для обоих этих уравнений мы можем построить одну и ту же систему линейнонезависимых решений. Эти решения и будут давать столбцы той унитарной матрицы U, которая приводит обе наши матрицы к диагональной форме. Иначе говоря, мы можем для двух коммутирующих эрмитовских матриц построить одну и ту же полную систему линейно-независимых собственных векторов. Что же касается собственных значений, т. е. значений параметров X и то они будут, конечно, вообще говоря, различными. Заметим, что из предыдущего еще не следует, что всякий собственный вектор матрицы А будет и собственным вектором матрицы В. Если все собственные значения А и В различны, так что каждому значению и соогветствует с точностью до численного множителя только один вектор, то это будет, конечно, так.

Но это уже не будет, вообще говоря, иметь места, если среди собственных значений есть одинаковые. Пусть есть полная система собственных векторов матриц А и соответствующие собственные значения. Положим, например, что но При этом векторы при любом выборе постоянных будут собственными векторами для но уже не будут собственными векторами для В.

Все предыдущие рассуждения легко переносятся и на случай нескольких матриц, а именно: если имеется несколько эрмитовскх матриц то для того, чтобы их можно было одновременно привести к диагональной форме при помощи унитарного преобразования, необходимо и достаточно, чтобы они попарно коммутировали, т. е. при любых i и k от 1 до l.