66. Основные теоремы.

Пусть имеется конечная группа G, содержащая элементов и пусть матрицы некоторого порядка , которые дают линейное представление этой группы. Объекты этого представления обозначим через Рассмотрим выражение:

В раскрытом виде это будет выражение:

где через мы обозначили элементы матрицы Нетрудно проверить, что выражение (84) будет формой Эрмита, т. е. в этом выражении коэффициенты при суть комплексные сопряженные числа. Кроме того, из формулы (83) следует, что эта форма Эрмита представляет собою сумму квадратов длин некоторых векторов, т. е. это будет определенно положительная форма Эрмита [40]. Иначе говоря, совершая некоторое унитарное преобразование

приводящее нашу форму к сумме квадратов

мы будем иметь все коэффициенты положительными. Совершая еще преобразование в новых переменных будем иметь для нашей формы Эрмита выражение в виде суммы чистых квадратов:

Совершим над переменными некоторое преобразование

принадлежащее к линейному представлению нашей группы. Нетрудно видеть, что при этом форма Эрмита не изменится. Действительно:

Но, как мы знаем [56], совокупность преобразований (матриц)

совпадает с совокупностью матриц

поэтому, если мы выразим преобразование (86) в новых переменных которые связаны с прежними формулами вида:

где некоторая матрица, то вместо группы получим подобную группу и все преобразования этой подобной группы не будут менять выражения (85), т. е. не будут менять суммы квадратов модулей, и, следовательно, будут все унитарными преобразованиями. Мы показали, таким образом, для случая конечных групп, что всякое линейное представление эквивалентно некоторому унитарному представлению, т. е. представлению, состоящему из унитарных преобразований. При некоторых дополнительных условиях это свойство сохраняется и при линейных представлениях бесконечных групп, зависящих от параметров, и в дальнейшем, когда будем говорить о линейном представлении группы, мы будем подразумевать всегда унитарное представление. Мы имеем, таким образом, следующую теорему:

Теорема I. Всякое линейное представление группы (конечной) имеет эквивалентное унитарное представление.

Выведем теперь необходимое и достаточное условие приводимости линейного представления. Введем предварительно один новый термин, а именно назовем диагональную матрицу содержащую на диагонали одинаковые элементы, кратной единичной матрице.

Такую матрицу можно обозначить в виде Как мы видели выше, в отношении алгебраических операций она эквивалентна числу

Положим теперь, что у нас имеется приводимое линейное представление некоторой группы. Такое представление осуществляется, например, матрицами вида:

где X — некоторая матрица и внутренняя матрица квазидиагональна. Составим матрицу

где средний квазидиагональный член имеет ту же конструкцию, что и в матрицах Нетрудно видеть, что матрица У коммутирует со всеми матрицами Действительно:

и точно так же

Но при умножении любой матрицы на число порядок множителей не играет роли. Кроме того, если числа различны, что мы и предполагаем, то матрица Y не кратна единичной матрице. Действительно, она имеет, очевидно, различные характеристические числа и . Таким образом мы приходим к следующей теореме: Теорема II. Если линейное представление приводимо, то существует матрица, отличная от кратной единичной матрицы и коммутирующая со всеми матрицами, входящими в упомянутое приводимое линейное представление.

Покажем теперь, что имеет место и обратная теорема, т. е. Теорема III. Если существует матрица Y, отличная от кратной единичной матрицы и коммутирующая со всеми матрицами линейного представления, то такое линейное представление будет приводимым.

Итак, по условию теоремы мы имеем для любого значка а:

Пусть Z — такая матрица, с определителем, отличным от нуля, что все матрицы унитарны: . Перепишем предыдущее равенство в виде:

Умножая слева на Z и справа на получим:

т. е. матрица коммутирует со всеми матрицами унитарного представления.

Эта матрица, очевидно, не кратна единичной, ибо если , то и Нам достаточно доказать приводимость эквивалентного линейного представления Таким образом доказательство нашей теоремы свелось к тому случаю, когда линейное представление унитарно. Мы будем для простоты письма считать, что само линейное представление, состоящее из матриц унитарно.

Пусть некоторое характеристическое число матрицы Y. Матрица как известно [25], коммутирует с любой матрицей и, следовательно, матрица так же, как и У, удовлетворяет условиям (87), т. е. коммутирует со всеми матрицами Нетрудно видеть, что по крайней мере одно из характеристических чисел матрицы будет равно нулю. Действительно, характеристическое уравнение для матрицы будет:

т. е. оно получается из характеристического уравнения для Y заменой X на и так как среди характеристических чисел матрицы Y было характеристическое число, равное то среди характеристических чисел будет хоть одно равное нулю. Следовательно, определитель матрицы равный произведению ее характеристических чисел, также будет равен нулю. Мы можем, таким образом, при доказательстве нашей теоремы предполагать все матрицы унитарными, и определитель матрицы К, входящей в формулы (87), равным нулю.

Рассмотрим совокупность векторов, имеющих составляющие:

где принимают любые значения и где элементы матрицы Y. Поскольку определитель матрицы Y равен нулю, ранг таблицы будет меньше . Пусть он равен некоторому числу . В этом случае, как мы знаем , формулы (88) определяют некоторое подпространство R измерения .

Рассмотрим левую часть равенства:

Вектор имеет как раз составляющие (88) и, следовательно, есть результат применения преобразования к некоторому произвольному вектору из подпространства R. В правой части формулы (89) мы имеем результат применения преобразования Y к вектору , т. е. составляющие правой части выражаются тоже по формулам (88), где только вместо поставлены составляющие векторы , т. е. правая часть формулы (89) представляет собою вектор, принадлежащий подпространству R.

Таким образом мы видим, сравнивая левую часть с правой, что применение преобразования к любому вектору из подпространства R дает вектор, также принадлежащий этому подпространству. Но, как мы знаем [65], если унитарные преобразования оставляют инвариантным некоторое подпространство, то они образуют приводимое представление, и таким образом теорема доказана.

Теоремы II и III показывают, что необходимым и достаточным условием неприводимости линейного представления является тот факт, что не существует матрицы, отличной от матрицы вида , которая коммутировала бы со всеми матрицами, входящими в линейное представление.

Из теоремы I непосредственно следует, что в теореме из [65] нет необходимости упоминать об унитарности представления, и можно вообще утверждать, что если все матрицы некоторого представления оставляют неизменным некоторое подпространство, то такое представление приводимо. Очевидно и обратное утверждение.