6. Теорема об умножении определителей.

В этом номере мы выведем формулу для произведения двух определителей одного и того же порядка.

Пусть имеются два определителя порядка n:

и

Составим новый определитель, элементы которого выражаются формулами:

и докажем, что этот определитель равен произведению определителей и . Начнем со случая Принимая во внимание формулы (37) и разлагая определитель на слагаемые, согласно свойству IV из [3], получим:

Вынося одинаковые множители из элементов одного и того же столбца, мы получим в первом и чегверюм слагаемом определители с одинаковыми столбцами, равные нулю.

Переставляя еще в одном из определителей столбцы, будем иметь:

что и требовалось доказать.

В общем случае порядка после применения свойства IV из [3] будем иметь:

где переменные суммирования принимают целые значения 1, 2,..., n. Слагаемые этой суммы могут быть записаны в виде:

Если среди чисел есть одинаковые, то написанный определитель имеет одинаковые сюлбцы, и соответствующее слагаемое равно нулю. Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением таких слагаемых, у которых среди чисел нет одинаковых, и таким образом эта последовательность чисел представляет собою некоторую перестановку из чисел .

Умножим выражение (39) дважды на в результате чего оно, очевидно, не изменится, и это выражение можно переписать в виде произведения двух множителей:

В первом множителе путем нескольких транспозиций перестановку приведем к виду п. При каждой транспозиции величина и написанный определитель будут лишь менять знак, а весь первый множитель остается без изменения. Таким образом выражение (39) может быть переписано в виде:

и, следовательно, возвращаясь к сумме (38), получим:

где суммирование распространяется на все перестановки из чисел . Написанная сумма есть определитель что и требовалось доказать. Формула (37) для сводится к следующему: элементы строки определителя умножаются на соответствующие элементы столбца второго определителя, и эти произведения складываются. Мы знаем, что в определителе можно заменить строки столбцами, не меняя его величины. Следовательно, предыдущее правило умножения строки на столбец можно заменить тремя другими правилами: правилом строка на строку, столбец на столбец и столбец на строку.

Формулируем окончательно теорему: пусть имеются два определителя порядка:

Составляем новый определитель

элементы которого вычисляются по одной из следующих формул:

При этом величина определителя равна произведению определителей

Пример. Наряду с основным определителем

рассмотрим определитель, составленный из алгебраических дополнений его элементов

Согласно приведенной выше теореме выразим произведение также в виде определителя, умножая строку на строку. Мы будем иметь для этого определителя следующие элементы;

В силу свойства V определителя мы получим:

о

или

Считая А отличным от нуля и сокращая на него, будем иметь:

Если элементы таковы, что определитель А равен нулю, то можно указать такие значения сколь угодно близкие при которых определитель А отличен от нуля. Для этих значений будем иметь формулу (41), а потому в пределе при формула будет иметь место и при , т. е. эта формула имеет место и при . Если выразить через элементы то она представляет собою тождество относительно