ГЛАВА III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП

§ 5. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП

52. Группы линейных преобразований.

Рассмотрим совокупность всех унитарных преобразований в -мерном пространстве. Все эти преобразования имеют определитель, отличный от нуля, так что для каждого унитарного преобразования которое вполне характеризуется соответствующей матрицей существует вполне определенное обратное преобразование которое также будет унитарным [28]. Кроме того, если два унитарных преобразования, то и их произведение также будет унитарным преобразованием. Все эти свойства совокупности всех унитарных преобразований выражают коротко тем, что говорят, что совокупность унитарных преобразований образует группу.

Вообще совокупность некоторых линейных преобразований с определителем, отличным от нуля, образует группу, если выполнены следующие два условия: во-первых, если некоторое преобразование принадлежит нашей совокупности, то и обратное преобразование также принадлежит совокупности, и, во-вторых, произведение двух преобразований, принадлежащих нашей совокупности (при любом порядке сомножителей) также принадлежит нашей совокупности, причем множители могут быть и одинаковыми.

Принимая во внимание, что произведение всякого преобразования на обратное ему есть тождественное преобразование, мы можем утверждать, что группа обязательно должна содержать тождественное преобразование, т. е. единичную матрицу.

Вообще линейное преобразование вполне определяется своей матрицей, и во всем предыдущем так же, как и впоследствии, мы можем говорить или о группе линейных преобразований, или о группе матриц.

Приведем еще примеры групп линейных преобразований. Нетрудно видеть, что совокупность всех вещественных ортогональных преобразований образует группу. Как известно, эти вещественные ортогональные преобразования имеют определитель, равный (±1).

Если взять совокупность вещественных ортогональных преобразований с определителем то они также образуют группу. Но если мы возьмем совокупность вещественных ортогональных преобразований с определителем то они уже не образуют группу, так как произведение двух матриц с определителем дает матрицу с определителем

В частности, если мы рассмотрим группу вещественных ортогональных преобразований с тремя переменными, то это будет группа, состоящая из чистых вращений пространства вокруг начала и из преобразований, которые получаются в результате такого вращения и преобразований симметрии относительно начала. Если же мы возьмем группу линейных ортогональных преобразований с тремя переменными, с определителем то это будет группа вращения пространства вокруг начала.

Во всех рассмотренных случаях группа содержала бесчисленное множество преобразований, в частности группа вращения трехмерного пространства вокруг начала зависела от трех произвольных вещественных параметров — углов Эйлера, о которых мы говорили выше.

В качестве следующего примера рассмотрим вращение пространства вокруг оси Z на угол . Соответствующие формулы имеют

При возможных значениях вещественного параметра в промежутке мы получаем, очевидно, группу, содержащую бесчисленное множество преобразований и зависящую от одного вещественного параметра. Введем следующее обозначение для матрицы преобразования:

Непосредственно очевидно, что произведение двух вращений на угол дает вращение на угол

и точно так же

Мы видим, таким образом, что в данном случае все преобразования группы или, как говорят, элементы группы попарно коммутируют. Такая группа называется абелевой группой. Кроме того, в последнем примере перемножение двух элементов группы сводится просто к сложению значений параметра соответствующих перемножаемым матрицам.

Мы можем несколько расширить последнюю группу, взяв не только вращение плоскости ХУ вокруг начала, но и зеркальное отображение, т. е. симметрию, относительно оси У, причем, очевидно, безразлично, в каком порядке производить эти операции — сначала вращение вокруг начала, а затем симметрию относительно оси У или наоборот. Перемена порядка повлияет на результат, но общая совокупность преобразований будет одна и та же при обоих способах. Это будут вещественные ортогональные преобразования с двумя переменными. Общий вид соответствующих матриц будет

где — прежний параметр, число, равное ±1. При мы получаем простое вращение плоскости ХУ вокруг начала, а при получается вращение, после которого производится упомянутая выше симметрия. Нетрудно проверить, что для произведения матриц (4) мы будем иметь следующее правило:

В данном случае произведение уже может зависеть от порядка сомножителей, т. е. группа уже не будет абелевой. Точно так же, очевидно, группа вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве или даже группа вращения трехмерного пространства вокруг начала не будет абелевой.

До сих пор мы приводили примеры групп, содержащих бесчисленное множество преобразований (элементов), и соответствующие матрицы содержали произвольные вещественные параметры. Сейчас приведем некоторые примеры групп, содержащих конечное число элементов. Пусть — некоторое целое положительное число. Рассмотрим совокупность вращений плоскости ХУ вокруг начала на углы

Мы будем иметь здесь всего m преобразований, матрицы которых будут

Эти преобразования образуют, очевидно, группу, и элементы этой группы суть целые положительные степени одного и того же преобразования, а именно

Такая конечная группа, состоящая из степеней некоторого преобразования, называется обычно циклической.

Если мы возьмем некоторый угол не соизмеримый с то преобразования (матрицы)

образуют также, очевидно, группу. Но эта группа будет состоять уже из бесчисленного множества элементов, гак как ни при каких целых показателях матрица Z не совпадает с Группа (7) будет бесконечной группой, но ее матрицы не содержат никакого непрерывно меняющегося параметра. В данном случае, как говорят, число элементов в группе будет счетным, т. е. мы можем пронумеровать все элементы группы целыми числами, снабдив всякий элемент группы значком, равным целому числу, так что разным элементам будут соответствовав разные значки, и всякое целое число будет знаком у некоторого элемента. Этого нельзя сделать в случае групп, содержащих непрерывно меняющиеся параметры.