45. Пространство с бесчисленным множеством измерений.

Мы переходим теперь к введению понятия о пространстве с бесчисленным множеством измерений. Предварительно нам надо ввести понятие о пределе комплексного переменного. Положим, что комплексное переменное принимает последовательно значения:

Говорят, что комплексное число есть предел последовательности (225), если модуль разности стремится к нулю при беспредельном возрастании , т. е. при и пишут или . Но

Поскольку под радикалом оба слагаемых не отрицательны, условие, равносильно двум условиям: Итак:

равносильно . Рассмотрим ряд с комплексными членами:

Он называется сходящимся, если сумма его первых членов

стремится к пределу: при беспредельном возрастаний n и этот предел называется суммою ряда. Из определения предела следует, что сходимость ряда (227) равносильна сходимости рядов

составленных из вещественных и мнимых частей членов ряда (227).

Положим, что сходится ряд

составленный из модулей членов ряда (227). В силу очевидных неравенств

при этом и ряды (228) будут сходящимися и притом абсолютно сходящимися, а потому и ряд (227) будет также сходящимся, т. е. если сходится ряд (229), то ряд (227) и подавно сходится. В этом случае ряд (227) называется абсолютно сходящимся. Применяя обычный признак Коши, мы можем формулировать необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости следующим образом: при любом малом положительном существует такое N, что

если только — любое целое положительное число.

Применим теперь сказанное выше к некоторым частным случаям, которые играют существенную роль в дальнейшем. Рассмотрим ряд вида:

где — некоторые комплексные числа, относительно которых известно, что ряды

сходятся. Применим доказанное в [29] неравенство

Принимая во внимание сходимость рядов (233), мы получаем отсюда, что сумма

будет сколько угодно малой при больших и любых т. е. сходимость рядов (233) обеспечивает абсолютную сходимость ряда (232).

Рассмотрим теперь ряд

причем по-прежнему будем считать, что ряды (233) сходятся. Ряд (234) можно представить в виде суммы четырех рядов:

Первые два из них сходятся по условию, сходимость же последних двух рядов вытекает из доказанного выше предложения, т. е. сходимость рядов (233) обеспечивает и сходимость ряда (234).

Обратимся теперь к рассмотрению пространства с бесчисленным множеством измерений. Мы назовем вектором в таком пространстве последовательность бесчисленного множества комплексных чисел

причем всегда будем считать, что эти числа подчиняются некоторому условию, а именно ряд

должен быть сходящимся рядом. Совокупность таких векторов называется обычно пространством Гильберта, который впервые изучал такое пространство. В дальнейшем мы будем для краткости называть его пространством

Для векторов пространства мы введем, как и выше, основные операции умножения вектора на число и сложение векторов. Если составляющие то составляющие вектора , где с — некоторое комплексное число, считаются равными . Если составляющие векторов , то составляющие вектора - считаются равными Разность есть сумма

Раз ряд (235) сходится, то, очевидно, ряд также сходится. Точно так же, если ряды

сходятся, то из вышесказанного вытекает, что и ряд

также сходится, т. е. последовательности чисел определяют векторы если х и у принадлежат Нулевой вектор есть вектор, все составляющие которого равны нулю. В векторных равенствах он обычно обозначается числом нуль. Операции над векторами подчиняются обычным правилам

Точно так же, в силу сказанного выше, мы можем для векторов и у определить скалярное произведение

откуда следуют формулы [13]

Сумма

определяет квадрат нормы (длины) вектора Введем следующее обозначение нормы:

т. е. обозначает норму вектора

Для скалярного произведения имеет место неравенство [30]

и совершенно так же, как в [30], выводится правило треугольника

Норма положительна для всякого вектора, кроме нулевого вектора, у которого она равна нулю. Два вектора называются взаимно ортогональными или просто ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. причем одно из этих равенств есть следствие другого,

Если векторы попарно ортогональны, т. е. если при то имеем, очевидно:

или, что то же самое:

т. е. квадрат нормы суммы попарно ортогональных векторов равен сумме квадратов норм слагаемых. Естественно назвать это предложение теоремой Пифагора. Из определения нормы непосредственно следует, что если с — комплексное число, то для нормы вектора имеем

Говорят, что векторы

образуют ортонормированную систему, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого равна единице, т. е.

где при . Отметим, что при этом формула (240) дает

где — любые комплексные числа. Ортонормированные системы могут состоять и из бесчисленного множества векторов. В качестве примера приведем основные орты пространства

Для составляющих любого вектора имеем:

Вернемся к конечной ортонормированной системе (241). Скалярное произведение называют часто коэффициентом Фурье вектора у относительно ортонормированной системы (241) или величиной проекции у на ось Сумма

вообще говоря, отлична от у. Представим у в виде

Умножая обе части этого равенства скалярно на и принимая во внимание ортонормированность системы (241), получим

т.е. или, иначе говоря, вектор и ортогонален ко всем векторам . Мы можем таким образом применить к правой части равенства (242) теорему Пифагора

откуда непосредственно следует неравенство

которое называется неравенством Бесселя. В этом неравенстве будет иметь место знак равенства в том и только в том случае, когда т. е. когда и — нулевой вектор. Это непосредственно следует из (243).

Для перенесения последних результатов на случай бесконечных ортонормированных систем нам необходимо ввести понятие предела последовательности векторов и рассматривать бесконечные ряды, члены которых — векторы .