37. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов.
Пусть имеются две квадратичные формы:
причем 
определенно положительна, т. е. приводится к сумме 
положительных квадратов. Требуется найти такое линейное преобразование (не обязательно ортогональное), чтобы в результате его обе формы перешли в сумму квадратов.
Прежде всего, введем такие новые переменные 
чтобы форма 
перешла в сумму квадратов. Это можно сделать, например, элементарным приемом, указанным в предыдущем номере. В новых переменных будем иметь следующие представления квадратичных форм:
По условию все числа 
положительны, и мы можем ввести новые вещественные переменные 
При этом получим формулы вида:
Совершим ортогональное преобразование от переменных 
к новым переменным 
приводящее форму 
к сумме квадратов.
При этом 
останется суммой квадратов, так как преобразование ортогонально, и мы будем иметь окончательно обе формы в виде суммы квадратов:
Числа 
называются иногда характеристическими числами формы 
по отношению к форме 
Установим теперь то уравнение, которому должны удовлетворять эти числа и которое будет вполне аналогично уравнению (144) из [32]. Для этого введем понятие о дискриминанте квадратичной формы, а именно: дискриминантом квадратичной формы называется определитель, составленный из ее коэффициентов
Положим, что мы преобразуем форму 
с матрицей коэффициентов А к новым переменным при помощи преобразования
Матрица новой формы будет, как известно [32]:
и ее определитель вычисляется по формуле
Определители 
очевидно, равны, так как соответствующие таблицы получаются одна из другой лишь заменой строк столбцами. Мы имеем таким образом
т. е. при линейном преобразовании переменных в квадратичной форме дискриминант формы умножается на квадрат определителя преобразования от новых переменных к первоначальным.
Вернемся теперь к нашим квадратичным формам 
и составим квадратичную форму
коэффициенты которой содержат параметр X.
В результате преобразования к новым переменным эта форма будет иметь вид:
и ее дискриминант в новых переменных выражается, очевидно, произведением
а в старых переменных этот дискриминант будет равен определителю с элементами 
. Как мы показали, эти два дискриминанта будут отличаться лишь множителем — квадратом определителя преобразования, не содержащим X и отличным от нуля. Отсюда непосредственно следует, что оба дискриминанта имеют одинаковые корни относительно параметра X. Принимая во внимание (163), видим, что числа ХЛ суть корни уравнения
