56. Абстрактные группы.

При определении группы мы можем совершенно отвлечься от конкретного значения операций, которые в своей совокупности образуют группу и которые в предыдущем были линейными преобразованиями или перестановками. Мы придем, таким образом, к понятию абстрактной группы.

Абстрактная группа есть совокупность некоторых символов, — таких, что для этих символов определено умножение в том смысле, что дается определенное правило, согласно которому из двух элементов Р и Q совокупности (разных или одинаковых) получается третий элемент, также принадлежащий совокупности, который называется их произведением и обозначается через QP. При этом должны быть выполнены следующие три условия:

1. Перемножение должно подчиняться сочетательному закону, т. е. , откуда вообще будет следовать, что мы можем в любом произведении, не меняя, конечно, порядка сомножителей, соединять любые сомножители в одну группу.

2. В нашей совокупности должен существовать один и только один такой элемент Е, который, будучи помножен на любой другой элемент с той или с иной стороны, воспроизводит этот же самый элемент, т. е.

Будем называть этот элемент единичным элементом.

3. Для любого элемента нашей совокупности Р существует в нашей же совокупности единственный другой элемент Q, который удовлетворяет условию

Из (32) при вытекает т. е., в силу определения обратного элемента, элементом, обратным Е, будет сам элемент

Можно поставить эти условия, определяющие абстрактную группу, в более узкой форме, причем из этих более узких требований остальные уже будут вытекать в качестве необходимых формальных следствий, но мы на этом останавливаться не будем. Вообще ограничимся лишь простейшими и основными фактами, связанными с понятием абстрактной группы. Более подробное рассмотрение теории групп дает материал, который сам по себе может заполнить целую книгу. Нашей целью является лишь сообщить читателю основные понятия и этим облегчить чтение физической литературы, в которой зачастую применяется понятие группы и где часто пользуются основными свойствами групп. В дальнейшем вместо Е мы будем писать иногда 7. Элемент Q, определяемый соотношениями (33), называется обратным Р и обозначается Имеет место, очевидно, соотношение (28), ибо из (33) следует и то, что Р обратно

Установив понятие абстрактной группы, перейдем теперь к выяснению некоторых новых понятий, а также к доказательству некоторых свойств абстрактных групп. Заметим прежде всего, что число элементов в группе, как это мы видели выше, может быть как конечным, так и бесконечным. Рассмотрим некоторое произведение элементов группы

Это будет также некоторый элемент группы. Обратный элемент будет получаться совершенно так же, как и в группе линейных преобразований, а именно он будет:

В этом нетрудно убедиться, совершая перемножение и пользуясь сочетательным законом. Пусть Р — некоторый элемент группы. Его целые положительные степени

также будут элементами группы. Если существует такое целое положительное число ту что то говорят, что элемент будет конечного порядка, причем порядком элемента будет наименьшее значение целого положительного числа ту при котором

При этом среди элементов

уже не может быть одинаковых. Действительно, из условия непосредственно вытекает Для конечной группы все элементы будут, очевидно, конечного порядка.

Обозначим элементы нашей группы через Если группа конечна, то можно считать, что значок а пробегает конечное число целых положительных значений. Если группа бесконечна, то он может пробегать все целые значения [62], может меняться непрерывно и даже он может быть равносилен нескольким значкам, которые непрерывно изменяются. Пусть - некоторый фиксированный элемент нашей группы. Составим всевозможные произведения . Нетрудно видеть, что при соответствующем изменении значка а написанное произведение даст нам опять все элементы группы и притом по одному разу.

Действительно, из равенства

умножением на слева получаем т. е. при разных а и произведение различно. Покажем теперь, что это произведение будет обращаться в любой элемент нашей группы. Действительно, равенство равносильно т. е. произведение даст нам элемент когда сомножитель будет равняться элементу нашей группы. Тот же самый результат мы получили бы, если бы приписали фиксированный элемент U не слева, а справа. Итак, мы получаем следующий результат: если пробегает все элементы группы и U — некоторый фиксированный элемент группы, то произведение также пробегает все элементы группы и притом по одному разу.

Рассмотрим частный пример группы. Положим, что группа состоит из шести элементов (группа шестого порядка), и обозначим эти элементы следующим образом:

Закон умножения определим при помощи следующей таблицы:

Этой таблицей надо пользоваться для определения умножения следующим образом. Если мы хотим, например, составить произведение DB, то должны в первой строке найти В, в первом столбце D и на пересечении соответствующих строк и столбцов найдем элемент , который и будет являться произведением DB. Нетрудно проверить, что при этом будут удовлетворены все те условия, которые мы упоминали при определении абстрактной группы, причем элемент Е будет играть роль единичного элемента.

В предыдущих номерах мы имели примеры конкретного осуществления абстрактного понятия группы. В одном случае роль элемента играло линейное преобразование (его матрица) и перемножение двух элементов сводилось к последовательному применению двух линейных преобразований, т. е. к перемножению соответствующих этим преобразованиям матриц. В другом случае роль элемента играла перестановка, и перемножение двух элементов сводилось к последовательному выполнению двух перестановок. Приведем еще пример конкретного осуществления группы.

Пусть элементами являются всевозможные комплексные числа и перемножение двух элементов сводится к сложению соответствующих комплексных чисел. В данном случае роль единичного элемента играет число нуль, и элементом, обратным комплексному числу а, является число . Вместо комплексных чисел мы могли бы взять за элементы всевозможные векторы комплексного -мерного пространства и определить умножение элементов, как сложение соответствующих векторов. При этом роль единичного элемента играет нулевой вектор. Иначе можно сказать, что элементами группы являются векторы из а групповым действием — сложение векторов. Отметим, что в последних двух примерах результаты перемножения двух элементов группы не зависят от порядка сомножителей, т. е., как говорят, любые два элемента группы коммутируют. Такие группы называются абелевыми группами [ср. 45]. Простейшим примером абелевой группы является так называемая циклическая группа, которая состоит из единичного элемента Е и степеней некоторого элемента Р. Если — наименьшее целое положительное число, при котором , то циклическая группа содержит элементов: Если такого целого положительного нет, то циклическая группа бесконечна: .