§ 2.2. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную в основании логарифмов

В этом параграфе рассматриваются уравнения и неравенства вида

При решении таких уравнений и неравенств надо учитывать, что их ОДЗ определяется из условий:

1) на ОДЗ все функции имеют смысл;

2) на ОДЗ основания логарифмов, т.е. функции должны удовлетворять условиям

3) на ОДЗ функции, находящиеся под знаком логарифма, должны быть положительны, т.е. на ОДЗ должны выполняться неравенства

2.2.1. Переход к числовому основанию.

Одним из основных способов решения уравнений и неравенств вида (1) и (2) является следующий.

1. Найти ОДЗ уравнения или неравенства.

2. Перейти в логарифмах к некоторому основанию а, где а — фиксированное число, т.е. заменить уравнение (1) равносильным ему на ОДЗ уравнением

а неравенство — равносильным ему на ОДЗ неравенством

3. Решить полученное стандартное по внешнему виду уравнение (3) (или неравенство на ОДЗ исходного уравнения

(или неравенства) Его решения и будут решения исходного уравнения (или неравенства).

Заметим, что ОДЗ уравнений (1) и (3) и неравенств (2) и (4) совпадают, поэтому можно сразу переходить от уравнения (1) к уравнению (3) и неравенства (2) к неравенству (4) и решать их на своей ОДЗ.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (5) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков Переходя в (5) к логарифмам по основанию, например, 2, получим уравнение

равносильное уравнению (5) на ОДЗ. Поскольку для этих х имеем то уравнение (6) можно записать в виде

или, так как на ОДЗ , в виде

Обозначим через тогда уравнение (7) можно переписать в виде Решения последнего уравнения есть Следовательно, уравнение (7) равносильно на ОДЗ исходного уравнения совокупности уравнений

Первое из уравнений этой совокупности не имеет решений, а решение второго уравнения есть Это число принадлежит ОДЗ исходного уравнения и, следовательно, является единственным его решением.

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (8) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков:

Перейдем в логарифмах неравенства (8) к логарифмам по основанию, например, 2. В результате получим неравенство

равносильное исходному на его ОДЗ. Поскольку на ОДЗ исходного неравенства имеем то неравенство (9) для этих х можно переписать в виде,

или в виде

или, наконец, в виде

Так как , то на ОДЗ исходного неравенства следовательно, Поэтому неравенство

(10) равносильно неравенству Решения последнего неравенства есть все Поскольку все входят в ОДЗ исходного неравенства, то все они являются его решениями. Ответ:

Отметим, что иногда при решении уравнений и неравенств вида (1) и (2) нецелесообразно переходить к некоторому постоянному основанию, так как это может сделать более громоздкой запись уравнения (или неравенства) и не облегчит процесс его решения.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку то ОДЗ исходного уравнения состоит из всех одновременно удовлетворяющих условию

т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков: . Легко видеть, что переход в логарифмах к некоторому основанию а приведет к громоздким выражениям. Поэтому поступим иначе: преобразуем уравнение на его ОДЗ. Исходное уравнение на своей ОДЗ равносильно уравнению

т.е. уравнению

Обозначим через Тогда поскольку на ОДЗ

то уравнение (12) можно записать в виде . Это уравнение имеет корни Следовательно, исходное

уравнение на своей ОДЗ равносильно совокупности двух уравнений:

Первое из этих уравнений равносильно на расматриваемой области уравнению

т.е. уравнению

Это уравнение имеет два корня: из которых ни один не входит в рассматриваемую область, и поэтому не является решением исходного уравнения. Второе уравнение совокупности (13) равносильно на области , уравнению решения которого есть Из этих значений только входит в рассматриваемую область, и поэтому является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: .

2.2.2. Переход к основанию, содержащему неизвестную.

Иногда при решении уравнений и неравенств вида (1) и (2) переходят к логарифмам по другому основанию, содержащему х. При этом надо помнить, что может произойти сужение ОДЗ, а следовательно, и потеря корня. Поэтому при переходе в уравнении (или неравенстве) к логарифмам по некоторому основанию содержащему вначале надо проверить, что для рассматриваемых х, а также проверить, не являются ли значения при которых решениями исходного уравнения, после чего уже переходить к основанию но уже для тех для которых

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, удовлетворяющих условиям

Будем решать это уравнение, переходя к логарифмам по основанию х. Прежде чем сделать этот переход, проверим, является ли корнем исходного уравнения. Подставляя 1 вместо х в уравнение (14), получаем, что есть его корень. Перейдя теперь в уравнении (14) к логарифмам по основанию х (учитывая, что получим уравнение

равносильное исходному уравнению на множестве Уравнение (15) для этих х можно переписать так:

Поскольку для рассматриваемых то уравнение равносильно уравнению

или уравнению

имеющему единственный корень Так как этот корень входит в рассматриваемое множество то он и является решением исходного уравнения на этом множестве.

Ответ:

2.2.3. Уравнения вида

Уравнения

можно решать и таким способом:

1. Перейти от этих уравнений к их следствиям, т.е. от уравнения (17) к уравнению

а от уравнения (18) к совокупности уравнений

2. Решить уравнение (19) или совокупность уравнений (20).

3. Проверить, какие из найденных корней будут корнями исходного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Уравнение

является следствием уравнения (21). Переписав уравнение (22) в виде находим его корни При функция, находящаяся в основании логарифмов, принимает отрицательное значение т.е. не удовлетворяет уравнению (21). При функция, находящаяся в основании логарифмов, принимает значение, большее нуля и не равное 1, так как т.е. удовлетворяет уравнению (21).

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Совокупность уравнений

является следствием уравнения (23). Ясно, что все решения первого уравнения совокупности (24) есть решения уравнения т. е. При любом функция равна 2, т.е. при этих основания логарифмов в уравнении (23) равны 2. Поэтому решениями уравнения (23) будут те к для которых Легко видеть, что только удовлетворяет этому условию, а следовательно, является решением уравнения (23).

Решения уравнения есть Так как Значит, удовлетворяет уравнению (23). Следовательно, решениями уравнения (23) являются

Ответ:

2.2.4. Уравнения вида

Если в уравнении

где натуральное число, то следствием уравнения (25) является уравнение

Если же то следствием уравнения (25) является уравнение

Уравнение вида (25) можно решать, следовательно, так:

1. Перейти от этого уравнения при натуральном к уравнению (26), а при к уравнению (27).

2. Решить уравнение (26) или уравнение (27).

3. Проверить, какие из найденных корней будут корнями исходного уравнения.

Замечание. Конечно, можно считать, что при любом действительном числе а следствием уравнения (25) является уравнение

но тогда надо уточнять, что понимается под функцией

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Уравнение

является следствием уравнения (28). Переписав уравнение (29) в виде находим его корни Легко видеть, что является корнем уравнения (28), а не является его корнем.

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Следствием уравнения (30) является уравнение решения которого есть Ясно, что этих х уравнению (30) будут удовлетворять лишь

Ответ:

2.2.5. Неравенства вида

Согласно общему методу решения неравенств, содержащих неизвестную в основании логарифмов, неравенство

равносильно при неравенству

которое можно переписать в виде

Последнее неравенство равносильно совокупности систем неравенств

или совокупности систем неравенств

Поэтому неравенство вида (31) можно решать следующим образом:

1. Перейти от неравенства (31) к равносильной совокупности неравенств (32).

2. Решить совокупность неравенств (32), ее решения и будут решениями неравенства (31).

Пример 9. Решить неравенство

Решение. Неравенство (33) равносильно совокупности двух систем неравенств:

Система (34) равносильна совокупности двух систем:

из которых первая не имеет решений, а решения второй составляют промежуток

Система (35) равносильна совокупности систем неравенств

Решения первой системы этой совокупности есть множество а вторая система решений не имеет.

Следовательно, решениями исходного неравенства являются все х из объединения двух промежутков

Ответ:

Процесс решения неравенства вида (31) иногда оформляют следующим образом:

1. Находят ОДЗ неравенства (31).

2. Разбивают ОДЗ неравенства (31) на два множества — та часть ОДЗ, где — та часть ОДЗ, где

3. На решают неравенство равносильное на исходному неравенству.

3. На решают неравенство равносильное на исходному неравенству.

Объединяя решения, найденные на получают все решения исходного неравенства.

Пример 10. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (36] пределяется из условий т.е. ОДЗ состоит из двух промежутков

а) Пусть Для этих х исходное неравенство равносильно неравенству

Так как для рассматриваемых то неравенство (37) равносильно неравенству ), котрое можно записать в виде

Решениями неравенства (38) являются все х из промежутка Из этих х условию удовлетворяют х из промежутка

Следовательно, в случае а) решения исходного неравенства составляют промежуток

б) Пусть Для этих х исходное неравенство равносильно неравенству

Так как для рассматриваемых то неравенство (39) равносильно неравенству , которое можно записать в виде

Решениями неравенства (40) являются все из двух промежутков Ни одно из этих х не удовлетворяет условию

Следовательно, в случае б) исходное неравенство не имеет решений.

Поэтому решениями неравенства (36) являются х из промежутка

Ответ: