§ 4.3. Применение производной.

В предыдущих параграфах были рассмотрены применения некоторых свойств функций, входящих в уравнение, например, свойства монотонности, ограниченности, существования

наибольшего и наименьшего значений и т. Иногда вопрос о монотонности, об ограниченности и в особенности о нахождении наибольшего и наименьшего значений функций элементарными методами требует трудоемких и тонких исследований, однако он существенно упрощается при применении производной. В этом параграфе будет показано применение производной при решении уравнений и неравенств.

4.3.1. Использование монотонности функции.

В дальнейшем будем пользоваться следующими утверждениями.

1. Если функция имеет положительную производную на промежутке тазта функция возрастает на этом промежутке.

2. Если функция непрерывна на промежутке и имеет внутри промежутка положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на промежутке.

3. Если функция имеет на интервале тождественно равную нулю производную, то эта функция есть постоянная на этом интервале.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим функцию

Область определения этой функции есть промежуток На этом промежутке непрерывна, внутри его имеет производную

Эта производная положительна внутри промежутка X. Поэтому функция возрастает на промежутке X. Следовательно,

она принимает каждое свое значение ровно в одной тачке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что является корнем уравнения (1) и по сказанному выше других корней оно не имеет.

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Рассмотрим функцию Поскольку эта функция на промежутке имеет производную которая положительна на этом промежутке, то функция возрастает на промежутке X и потому принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Легко видеть, что таким корнем уравнения является Поскольку функция определена на всей прямой и непрерывна на ней, то для имеем а при имеем Поэтому решениями неравенства (2) являются все х из промежутка

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (3) есть промежуток Рассмотрим функцию Эта функция на промежутке X имеет производную Легко видеть, что для любых х из промежутка Так как на промежутке функция непрерывна, то это означает, что на промежутке функция возрастает. Поскольку то для любого Поэтому любое является решением неравенства (3).

Так как для любого непрерывна на промежутке то функция убывает на

промежутке Поскольку то для любого Следовательно, любое является решением неравенства (3). Поскольку то не есть решение неравенства (3);

Таким образом, все решения неравенства (3) составляют два промежутка

Ответ:

4.3.2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции.

Справедливы следующие утверждения. 1. Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции, принимаемое ею на интервале может достигаться в тех точках интервала I, в которых ее производная равна нулю или не существует (каждая такая точка называется критической точкой).

2. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции, имеющей на интервале конечное число критических точек, достаточно вычислить значения функции во всех критических точках, принадлежащих интервалу а также в концах отрезка и из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

3. Если в критической точке функция непрерывна, а ее производная, проходя через эту точку, меняет знак с минуса на плюс, то точка — точка минимума, а если ее производная меняет знак с плюса на минус, то — точка максимума.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (4) есть промежуток Так как для любого то уравнение (4) можно переписать в виде

или в виде

Наименьшее значение функции на промежутке есть 3. Найдем наибольшее значение на промежутке функции Так как на промежутке функция отрицательна, а на промежутке положительна, то наибольшее значение функция может принимать лишь на промежутке

Эта функция на промежутке имеет производную

которая обращается в нуль в точках Поскольку на промежутке имеем а на промежутке имеем то в силу непрерывности функции заключаем, что она на промежутке убывает, а на промежутке возрастает. Следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение, причем Поскольку то для любого х справедливы неравенства

из которые следует, что уравнение (5) решений не имеет.

Следовательно, не имеет решений и равносильное ему уравнение (4).

Ответ: решений нет.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (6) есть промежуток Рассмотрим непрерывную функцию на отрезке Функция на интервале (2; 4) имеет производную

обращающуюся в нуль только при Так как функция непрерывна на отрезке то ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди чисел Так как то наибольшее значение есть Следовательно, уравнение (6) имеет единственный корень

Ответ:

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (7) есть промежуток Рассмотрим непрерывную функцию на промежутке Эта функция имеет внутри промежутка производную

Эта производная внутри промежутка X обращается в нуль только в точке Поскольку для любой точки х, находящейся слева от точки имеем, что а для любой точки справа от имеем то в силу непрерывности функции, на отрезке возрастает, на промежутке убывает и точка есть точка максимума функции Это означает что для любого из кроме справедливо неравенство

Следовательно, решениями исходного неравенства (7) являются все х из двух промежутков

Ответ:

Пример 7. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (8) есть промежуток Рассмотрим функцию

Эта функция на промежутке имеет производную

которая обращается в нуль в точке

Рассмотрим функцию сначала на промежутке Так как непрерывна на промежутке и для любой точки х внутри промежутка имеем то возрастает на Поскольку то для любого х внутри т.е. ни одно х из промежутка не есть решение неравенства (8).

На промежутке функция непрерывна, для любой точки х внутри промежутка имеем поэтому возрастает Поскольку то для любого х внутри т. е. любое х из промежутка есть решение неравенства (8).

Ответ:

4.3.3. Применение теоремы Лагранжа.

Теорема (Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале то найдется такая точка с интервала что

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Заметим, что являются корнями уравнения (9) Докажем, что других корней уравнение (9) не имеет. Предположим, что уравнение (9) имеет три корня Рассмотрим функцию Данная функция непрерывна на всей прямой и имеет всюду производную. По теореме Лагранжа имеем

Следовательно, существуют хотя бы две точки в которых производная функции равна нулю. Однако функция имеет только один корень. Этим доказано, что данное уравнение (9) имеет только два корня:

Ответ:

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Ответы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)