§ 3.3. Иррациональные уравнения

3.3.1. Уравнения вида

Уравнение

при некоторых условиях на числа и функцию можно решать так: возведя уравнение (1) в квадрат, получить уравнение

являющееся следствием уравнения (1). Если окажется, что где А — некоторое

число, то, делая замену неизвестного перепишем уравнение (2) в виде

Если уравнение (3) имеет решения включая случай то совокупность уравнений

является следствием уравнения (1) и, найдя ее корни, надо проверить, какие из них являются корнями уравнения (1). Если же уравнение (3) не имеет решений, то не имеет решений и уравнение (1).

Отметим, что при решении уравнения (1) можно не переходить к следствиям, а на каждом этапе следить за равносильностью переходов. Отметим еще, что иногда таким же способом может быть решено уравнение вида

Приведем примеры решения уравнений вида (1) и (4) переходом к следствию и равносильными переходами.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возводя обе части уравнения (5) в квадрат, получаем уравнение

являющееся следствием исходного уравнения. Сделав замену неизвестного уравнение (6) можно переписать в виде . Решения этого квадратного уравнения есть Поэтому совокупность уравнений

есть следствие уравнения (5). Уравнение решений не имеет. Решения уравнения Их есть Проверка показывает, что есть решение исходного уравнения, а не есть его решение. Следовательно, исходное уравнение имеет один корень Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения состоит из удовлетворяющих одновременно условиям т.е. ОДЗ есть промежуток — Для х из ОДЗ, удовлетворяющих условию т.е. для х из промежутка левая часть уравнения (7) отрицательна, а правая неотрицательна, значит, ни одно из этих х решением уравнения быть не может.

Пусть . Для таких х обе части уравнения (7) неотрицательны, и поэтому оно равносильно на этом множестве уравнению

Сделав замену неизвестной перепишем уравнение (8) в виде Решения этого уравнения есть Следовательно, уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

и

Первое уравнение совокупности (9) решений не имеет. Второе уравнение для равносильно уравнению имеющему корни Из этих чисел только попадает в

промежуток Следовательно, только является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3.3.2. Уравнения вида

Уравнение

где — данные числа, можно решать следующим образом.

1. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (10).

2. Возведя обе части уравнения (11) в квадрат, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (11).

3. Сделав замену неизвестной перепишем уравнение (12) в виде

Уравнение (13) есть квадратное уравнение относительно у» Если оно имеет два корня то получим совокупность уравнений

являющуюся следствием уравнения (10). Решив эти квадратные относительно х уравнения, надо проверить, являются ли найденные корни корнями уравнения (10). Если уравнение (13) имеет одно решение то получаем уравнение

являющееся следствием уравнения (10). Решив это уравнение, надо проверить, являются ли найденные его корни корнями уравнения (10). Наконец, если уравнение (13) не имеет корней, то и уравнение (10) не имеет корней.

Заметим, что аналогично решаются и уравнение вида

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения (15) в квадрат, получим уравнение

являющееся следствием уравнения (15). Если возведем уравнение (16) в квадрат, то получим уравнение

являющееся следствием уравнения (16). Сделав замену неизвестной уравнение (17) перепишем в виде Решения этого уравнения есть Следовательно, имеем совокупность уравнений

являющуюся следствием исходного уравнения (15). Первое уравнение из совокупности (18) имеет единственное решение Второе уравнение этой совокупности решений не имеет. Следовательно, совокупность (18) имеет единственное решение Проверка показывает, что есть решение исходного уравнения.

Ответ:

В некоторых случаях проверка найденных корней уравнения-следствия затруднительна, поэтому приведем еще способ

решения уравнений типа (10), основанный на его равносильных преобразованиях.

1. Найдем ОДЗ уравнения есть промежуток

2. На ОДЗ обе части уравнения (10) неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат уравнения (10) получим уравнение

равносильное уравнению (10) на его ОДЗ.

3. На области уравнение (19) равносильно уравнению

Действительно, любое решение уравнения (19) есть решение уравнения (20), так как при возведении в квадрат корни уравнения не теряются. Любое решение уравнения (20) есть либо решение уравнения (19), либо решение уравнения

Перепишем уравнение (21) в виде

Так как то уравнение (22) не имеет решений, ибо на ОДЗ левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, любое решение уравнения (20) есть решение уравнения (19).

Итак, уравнение (20) равносильно уравнению (10) на его ОДЗ.

4. Обозначив перепишем уравнение виде

Уравнение (23) квадратное относительно у. Если оно имеет два решения (не исключая случая то получаем совокупность уравнений

равносильную исходному уравнению (10) на его ОДЗ. Если уравнение (23) не имеет решений, то и уравнение (10) не имеет решений.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения есть промежуток На ОДЗ обе части уравнения (25) неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат, получим уравнение

равносильное исходному на его ОДЗ. Уравнение

равносильно уравнению (26) на его ОДЗ. Перепишем уравнение (27) в виде

Сделав замену неизвестной перепишем уравнение (28) в виде

Решения этого уравнения есть

Следовательно, имеем совокупность уравнений

и

равносильную исходному уравнению на его ОДЗ.

Первое уравнение совокупности (29) решений не имеет, второе уравнение имеет два корня:

Оба эти корня входят в ОДЗ исходного уравнения и поэтому являются его корнями.

Ответ:

Замечание. Уравнение вида заменой неизвестной сводится к уравнению вида (10) или вида (14).

3.3.3. Сведение решения иррационального уравнения к решению тригонометрического уравнения.

Заменой неэвестной решение иррациональных уравнений иногда можно свести к решению тригонометрических уравнений. При этом полезными могут оказаться следующие замены неизвестной.

1. Если в уравнение входит радикал то можно сделать замену или

2. Если в уравнение входит радикал то можно сделать замену

3. Если в уравнение входит радикал то можно сделать замену или

Пример 5. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (30) есть все действительные х. Сделаем замену незвестной где можно считать, что Тогда уравнение (30) запишется в виде

Поскольку для рассматриваемых то уравнение (31) для этих равносильно уравнению

Уравнение (32) равносильно совокупности уравнений

Из решений этих уравнений промежутку принадлежит только Поэтому соответствующие х есть

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (34) состоит из всех удовлетворяющих условию Ясно, что никакое отрицательное х из ОДЗ не может быть решением уравнения (34).

Следовательно, все решения уравнения (34) лежат в области Сделаем замену неизвестной где можно считать, что Тогда уравнение (34) можно переписать в виде

Это уравнение для рассматриваемых равносильно уравнению

которое для этих равносильно уравнению

Делая замену неизвестной уравнение (37) можно переписать в виде

Уравнение (38) имеет корни Поэтому урав-нение (37) равносильно совокупности уравнений

Первое уравнение совокупности (39) не имеет решений из промежутка , так как для любого из этого промежутка . Следовательно, все решения уравнения (35), удовлетворяющие условию содержатся среди решений второго уравнения совокупности (39). Обозначая это уравнение для рассматриваемых можно записать в виде

Уравнение (40) имеет два корня: Поэтому уравнение (35) на промежутке имеет два решения:

а это означает, что уравнение имеет два корня:

Ответ:

Пример 7. Сколько корней на отрезке [0; 1] имеет уравнение

Решение. Так как искомые корни удовлетворяют условию то делаем замену неизвестной Тогда каждому корню исходного уравнения будет соответствовать ровно один корень где уравнения

и, наоборот, каждому корню уравнения (42) соответствует ровно один корень уравнения (41). Таким образом, задача может быть переформулирована так: сколько корней на промежутке имеет уравнение

Поскольку то препишем уравнение (42) в виде

Так как не есть корень уравнения (43), то оно равносильно на промежутке уравнению

или уравнению или, наконец, уравнению

Решения уравнения (44) есть

Из этих чисел условию удовлетворяют только три числа Следовательно, исходное уравнение (41) имеет на отрезке [0; 1] три корня.

Ответ: три корня.