§ 2.4. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком абсолютной величины

2.4.1. Раскрытие знаков модулей.

Основной метод решения уравнений и неравенств, содержащих модули, состоит в следующем: надо разбить ОДЗ уравнения или неравенства на множества, на каждом из которых каждое из выражений, находящихся под знаком модуля, сохраняет знак. На каждом таком множестве уравнение или неравенство записывается без знака модуля и затем решается на этом множестве. Объединение решений, найденных на всех этих множествах - частях ОДЗ уравнения или неравенства, составляет множество всех его решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения состоит из всех действительных х. Разобьем ОДЗ на два промежутка:

а) Пусть тогда и уравнение (1) запишется на этом множетве так:

Это уравнение превращается в верное числовое равенство для любого действительного т.е. его решениями являются все действительные х. Из них условию удовлетворяют все х из промежутка Они и являются решениями уравнения (1) в случае а).

б) Пусть тогда уравнение (1) запишется на этом множетве так:

или

Решения этого уравнения есть Из этих значений условию удовлетворяют только Итак, решения уравнения (1) есть и все из промежутка

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих условию Так как функции меняют знак на области проходя через точку то разобьем ОДЗ на два промежутка:

а) Если то Поэтому неравенство (3) запишется для этих в виде

т. е.

Решения этого неравенства есть Все эти удовлетворяют условию значит, являются решениями исходного неравенства (3).

б) Если то Поэтому неравенство (3) перепишется в виде

т.е. в виде Решения этого неравенства составляют два промежутка:

Из этих условию удовлетворяют все из промежутка поэтому все они являются решениями неравенства (3). Множеством всех решений исходного

неравенства (3) будет объединение решений, найденных в случаях а) и б).

Ответ:

2.4.2. Уравнения вида

Уравнение

можно решать основным методом. Однако в некоторых случаях полезно уравнение (4) решать следующим образом:

1. Найти ту часть ОДЗ уравнения (4), где

2. На этой области уравнение (4) равносильно совокупности двух уравнений

Решения этой совокупности, принадлежащие рассматриваемой области, и дадут решение уравнения (4).

Пример 3. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения есть все действительные х. Очевидно, что на ОДЗ, т.е. для любого действительного х,

Поэтому уравнение (5) равносильно совокупности уравнений

и

Первое уравнение решений не имеет, а второе равносильно уравнению имеющему единственный корень

Ответ:

2.4.3. Неравенства вида

Неравенство

можно решать основным способом. Однако, иногда бывает полезно заменить неравенство (6) равносильной ему системой неравенств

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств

которую можно переписать в виде

Решения первого неравенства системы (8) составляют промежуток решения второго составляют промежуток Следовательно, решения системы неравенств (8), а значит, и исходного неравенства (7) составляют промежуток

Ответ:

2.4.4. Неравенства вида

Неравенство

можно решать основным способом. Однако иногда бывает полезно разбить ОДЗ неравенства (9) на две части иначе, а именно:

1. Найти область, где Все х из этой области дают решение неравенства (9).

2. Найти область, где и на ней рассмотреть неравенство

Объединение найденных решений и дает все решения неравенства (9).

Пример 5. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (10) состоит из всех действительных

а) Найдем те х, для которых

Перепишем неравенство (11) в виде

Ясно, что никакое х из промежутка не является решением неравенства (12). Пусть для этих х неравенство (12) равносильно неравенству

Решения неравенства (13) составляют два промежутка: . Из этих х условию удовлетворяют лишь х из промежутка —

Следовательно, решениями неравенства (11) являются все из промежутка все эти х являются решениями исходного неравенства (10).

б) Теперь на множестве рассмотрим неравенство

Неравенство (14) можно переписать в виде

Ясно, что не есть решение неравенства (15). Для любого левая часть неравенства (15) отрицательна, а правая положительна, следовательно, среди нет решений неравенства (15). Для любого левая часть неравенства (15) положительна, а правая отрицательна, следовательно, любое из этих а? является решением неравенства (15).

Из этих х в множество входят все х из промежутка Все они являются решениями исходного неравенства (10).

Объединяя решения, найденные в пунктах а) и б), получаем решения исходного неравенства.

Ответ: .

2.4.5. Уравнения и неравенства вида

Уравнение

и неравенство

можно решать согласно общему методу. Однако иногда бывает полезно заменить уравнение (16) уравнением т.е. уравнением равносильным ему на его ОДЗ, а неравенство (17) неравенством

т. е. неравенством равносильным ему на его ОДЗ.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. ОДЗ этого неравенства есть все действительные х. Неравенство (18) равносильно неравенству

которое можно переписать в виде Решением этого неравенства является любое действительное х кроме В самом деле, для любого принадлежащего промежутку , имеем поэтому для любого такого х. Для любого принадлежащего промежутку имеем поэтому В силу четности функции получаем, что все также являются решениями неравенства. Очевидно, что неравенству не удовлетворяет.

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (19) есть все действительные Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение

равносильное исходному. Это уравнение можно переписать в виде откуда следует, что оно равносильно совокупности уравнений

и

Так как и дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то уравнение (20) имеет единственный корень Поскольку то решения уравнения (21) есть

Итак, исходное уравнение имеет четыре корня:

Ответ:

2.4.6. Использование свойств абсолютной величины.

При решении уравнений и неравенств с модулем иногда бывает полезно решать их не по основному методу, а применять различные свойства абсолютных величин действительных чисел.

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Обозначим через а и через Тогда уравнение (22) можно записать в виде

Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство (23) возможно тогда и только тогда, Когда одновременно Поэтому исходное уравнение (22) равносильно системе неравенств

Решение этой системы неравенств, а значит, и исходного уравнения есть

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения (24) есть все кроме Поскольку для любого х из ОДЗ

то уравнение (24) можно переписать так:

Обозначим через а и через тогда уравнение

(25) можно переписать так:

Из свойств абсолютной величины вытекает, что равенство (26) имеет место тогда и только тогда, когда

Это означает, что решения уравнения (24) совпадают с реше ниями неравенства

Решениями неравенства (27), а значит, и исходного уравнения, являются и все х из промежутка

Ответ:

Пример 10. Решить неравенство

Решение. Для любого имеем поэтому а это означает, что ни одно из не является решением неравенства (28).

Для любого имеем ипоэтому а это означает, что ни одно также не является решением неравенства (28).

Для любого х из промежутка имеем поэтому Следовательно, а это означает, что ни одно х из промежутка не является решением неравенства (28).

Итак, неравенство (28) не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)