§ 1.3. Симметрические и возвратные уравнения

1.3.1. Симметрические уравнения третьей степени.

Уравнения вида

называются симметрическими уравнениями третьей степени. Поскольку , то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

решить которую не представляет труда.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Уравнение (2) является симметрическим уравнением третьей степени. Поскольку — За: то уравнение равносильно совокупности уравнений

Решение первого из этих уравнений есть второе уравнение решений не имеет.

Ответ:

1.3.2. Симметрические уравнения четвертой степени.

Уравнения вида

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку не является корнем уравнения (3), то разделив обе части уравнения (3) на получим уравнение равносильное исходному (3):

Перепишем уравнение (4) в виде:

В этом уравнении сделаем замену тогда получим квадратное уравнение

Если уравнение (5) имеет два корня то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Если же уравнение (5) имеет один корень то исходное уравнение равносильно уравнению

Наконец, если уравнение (5) не имеет корней, то и исходное уравнение также не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является симметрическим Уравнением четвертой степени.. Так как не является

его корнем, то, разделив уравнение (6) на получим равносильное ему уравнение

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение (7) в виде

или в виде

Положив получим уравнение х

имеющее два корня Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Решение первого уравнения этой совокупности есть а решения второго есть

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня: Ответ:

1.3.3. Возвратные уравнения.

Уравнения вида

где А — фиксированное число и называются возвратными уравнениями.

При уравнения (8) и (9) являются симметрическими уравнениями соотвественно нечетной и четной степеней. Возвратное уравнение нечетной степени (8) всегда имеет корень , поскольку это уравнение можно переписать в виде

и при выражения в каждой скобке обращаются в нуль. Выделив множитель из каждой скобки, можно доказать, что уравнение (8) равносильно совокупности уравнений: уравнения некоторого возвратного уравнения четной степени.

Для решения возвратного уравнения четной степени поступают следующим образом.

Поскольку не есть корень уравнения (9), то, разделив уравнение (9) на и сгруппировав члены, получим уравнение

Положим тогда имеем х

и т.д., и уравнение (10) степени относительно х запишем в виде алгебраического уравнения степени относительно

Таким образом, мы от уравнения степени перешли к уравнению степени Если теперь удастся решить полученное уравнение степени то найдутся все корни уравнения

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Уравнение (11) является возвратным уравнением четвертой степени Поскольку не является корнем этого уравнения, то оно равносильно уравнению

Последнее уравнение перепишем в виде или в виде

Положив запишем уравнение (12) в виде Корни этого уравнения есть Следовательно, исходное уравнение (11) равносильно совокупности уравнений

Решения первого уравнения этой совокупности есть а решения второго Следовательно, эти четыре корня и являются корнями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Уравнение (13) является возвратным уравнением степени так как его можно записать в виде

Так как по сказанному выше является его корнем, то, сгруппировав члены уравнения, перепишем его в виде

Применяя формулы разности пятых и третьих степеней и выделив множитель перепишем уравнение (14) в виде

Уравнение (15) равносильно совокупности уравнений

Уравнение (16) запишем в виде

Уравнение является возвратным уравнением четвертой степени . В самом деле, уравнение (17) можно записать так:

Так как не является корнем уравнения (18), то, разделив его на и сгруппировав члены, получим уравнение

равносильное уравнению (18).

Положим тогда уравнение (19) перепишется в х

Решения последнего уравнения есть Следовательно, уравнение (16) в свою очередь равносильно совокупности уравнений

Первое из этих уравнений решений не имеет. Решения второго уравнения есть

Итак, исходное уравнение (13) имеет три корня: Ответ:

1.3.4. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Рассмотрим уравнение четвертой степени

где

Так как не есть корень этого уравнения, то, разделив его на получим уравнение

Обозначив и учитывая, что

перепишем уравнение в виде

После нахождения решений этого уравнения мы найдем решения исходного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. В данном уравнении

Поскольку то это уравнение рассматриваемого типа. Поскольку не является корнем уравнения (21), то, разделив это уравнение на и сгруппировав его члены, получим уравнение равносильное уравнению (21). Так как решения уравнения есть то исходное уравнение (21) равносильно совокупности уравнений

решения которой есть

Ответ: