и точками поверхности Римана устанавливается взаимно однозначное соответствие. Пусть есть некоторое значение и, соответствующее точке
другие получаются прибавлением периода
есть
ломорфная функция во всякой точке поверхности Римана; функция
голоморфна в круге
где она не принимает ни значения
ни другого значения
отличающегося от первого периодом. Семейство функций
есть нормальное семейство; то же самое для семейств мероморфных функций
Если фиксировать
то получим, как в предыдущем, верхний предел для
зависящий от
Существует число
зависящее только от
такое, что во всяком круге с центром в начале и радиусом большим
либо одна из функций х и у перестает быть мероморфной, либо точка
совпадает с точкой
В частности, сделаем предположение, что
никогда не принимает частного фиксированного значения а, которое можно, выполнив в случае необходимости линейное преобразование над
считать бесконечностью; тогда функция
голоморфна в круге (С):
Существует число
зависящее только от
такое, что во всяком круге с центром в начале и радиусом большим
либо
перестает быть голоморфной, либо у перестает быть мероморфной.
Допустим теперь, что точка
может совпадать с определенной точкой
поверхности Римана, но это не может происходить более
раз. Пусть
будут
значений и, отличающиеся одно от другого периодами и соответствующие этой точке
Ни одна функция
не может принять более
из этих значений, пока
в круге (С): следовательно, имеется не менее двух значений последовательности, которые не принимает функция. Пусть тогда
дана бесконечная последовательность функций и
существует два частных значения последовательности и
которые будут исключительными для бесконечной последовательности
выбранной из первой, потому что число пар выбранных значений в последовательности
им конечно. Тогда последовательность
нормальна. Итак, семейство функций
нормально и результаты предыдущего параграфа применимы.
Существует число
зависящее только от
такое, что внутри всякого круга с центром в начале и радиусом большим
либо одна из функций х и у перестает быть мероморфной, либо точка
проходит более
раз через точку
Существует число
зависящее только от
такое, что внутри всякого круга с центром в начале и радиусом большим
либо функция
имеет более
полюсов, либо функция у перестает быть мероморфной.
Разумеется, вместо того, чтобы фиксировать значения
можно подчинить функции
условию, что точка
совпадает