§ 36. Основной признак.

Теперь я докажу следующее предложение.

Семейство функций голоморфных в области, где они принимают не более раз значение единиц и не более раз значение ну есть квазинормальное семейство в этой области порядка не выше наименьшего из целых чисел

Пусть

есть последовательность функций семейства, точка сгущения нулей этих функций, лежащая внутри если таковая существует.

Из последовательности я выбираю последовательность функций которые, начиная с некоторого индекса, имеют нуль в круге с центром в и с произвольно малым радиусом. Предположим, что существует вторая точка сгущения нулей функций Я могу предположить, что расположена вне круга потому что, выбрасывая в случае нужды конечное число членов в начале последовательности я могу взять радиус круга сколь угодно малым.

Провожу круг с центром вне строго внутри области (О); а из последовательности выбираю последовательность все функции которой имеют не менее одного нуля в и так далее; если эта операция не оборвется, прежде чем будет найдено различных точек то получим последовательность функций имеющих, начиная с некоторого номера, нули в каждом из кругов лежащих вне друг друга и имеющих произвольно малые радиусы; эти функции не имеют больше нулей, заключенных в области вне юугов Если операция оборвется после того, как найдено точек будем иметь последовательность все нули которой не имеют других точек сгущения внутри кроме этих точек

Пусть область, внутренняя выбросив из этой области круги мы получим обласуь которая содержит только конечное число нулей всех функций итак, в обоих случаях, начиная с некоторого номера, функции не будут иметь нулей в

Произведем ту же самую операцию над последовательностью рассматривая на этот раз корни уравнения:

Мы получим новых точек из которых некоторые могут совпадать с точками и последовательность выбранную из обладающую следующим свойством: во всякой области взятой внутри и вне кругов имеющих центры в точках начиная с некоторого номера, функции никогда не принимают значений, равных нулю или единице, следовательно, последовательность образует нормальное семейство в и можно выбрать последовательность которая сходится в этой области равномерно.

Теперь надо рассмотреть два случая:

1) Предельная функция голоморфна в в этом случае, как мы видели выше, она голоморфна также в кругах с центрами и сходимость равномерна также в этих кругах. Следовательно,

последовательность сходится в этом случае равномерно в области ломорфной функции; та же последовательность сходится во всей области

2) Предельная функция тождественно равна бесконечности. Я утверждаю, что последовательность сходится к бесконечности во всякой точке, отличной от и . В самом деле, радиусы кругов можно сколь угодно уменьшать, и в соответствующей области функции начиная с некоторого номера, голоморфны и сходятся равномерно к нулю.

Последовательность имеет иррегулярными точками только точки, общие

В самом деле, пусть, например, точка отлична от всех начиная с некоторого номера, уравнение:

не имеет корней вблизи следовательно, не может быть иррегулярной точкой. Из доказанного следует, что число иррегулярных точек не больше наименьшего из чисел В дальнейшем будем говорить, что нуль и единица суть значения квазиисключительные.