ГЛАВА VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 85. Природа сходимости нормальной или квази-нормальной последовательности.
Мы ставим себе целью отыскивать все более и более широкие условия, позволяющие утверждать, что бесконечная последовательность функций, голоморфных в некоторой области, сходится в этой области равномерно. Вот прежде всего общее предложение:
Всякая сходящаяся последовательность голоморфных функций, принадлежащих нормальному или квази-нормальному семейству, сходится равномерно.
Другими словами, если последовательность голоморфных функций, принадлежащих семейству, нормальному или квази-нормальному в области
имеет в каждой точке из
конечный предел, то сходимость последовательности равномерна внутри
следовательно, предельная функция
необходимо голоморфна. Действительно, если сходимость не равномерна, то существуют область
внутри
число
и бесконечная последовательность точек
из
такие, что точке
соответствует в последовательности функция
для которой
Мы можем из последовательности
выбрать другую последовательность
сходящуюся равномерно в некоторой области
содержащей
и содержащейся в
за исключением, быть може
конечного числа иррегулярных точек. Предел не может быть тождественной бесконечностью, потому что функции последовательности имеют конечный предел в каждой точке из
следовательно, она не может иметь иррегулярных точек в
и сходится равномерно к голоморфной функции, которая необходимо совпадает с
Следовательно, для достаточно большого
имеем:
каково бы ни было
в
а это противоречит предположению относительно точки
Итак, сходимость равномерна.