ГЛАВА VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

§ 85. Природа сходимости нормальной или квази-нормальной последовательности.

Мы ставим себе целью отыскивать все более и более широкие условия, позволяющие утверждать, что бесконечная последовательность функций, голоморфных в некоторой области, сходится в этой области равномерно. Вот прежде всего общее предложение:

Всякая сходящаяся последовательность голоморфных функций, принадлежащих нормальному или квази-нормальному семейству, сходится равномерно.

Другими словами, если последовательность голоморфных функций, принадлежащих семейству, нормальному или квази-нормальному в области имеет в каждой точке из конечный предел, то сходимость последовательности равномерна внутри следовательно, предельная функция необходимо голоморфна. Действительно, если сходимость не равномерна, то существуют область внутри число и бесконечная последовательность точек из такие, что точке соответствует в последовательности функция для которой

Мы можем из последовательности выбрать другую последовательность сходящуюся равномерно в некоторой области содержащей и содержащейся в за исключением, быть може конечного числа иррегулярных точек. Предел не может быть тождественной бесконечностью, потому что функции последовательности имеют конечный предел в каждой точке из следовательно, она не может иметь иррегулярных точек в и сходится равномерно к голоморфной функции, которая необходимо совпадает с Следовательно, для достаточно большого имеем:

каково бы ни было в а это противоречит предположению относительно точки Итак, сходимость равномерна.