§ 77. Частные случаи.

Рассмотрим случай, когда фиксированы значения функции точках: и пусть данные значения Если детерминант:

отличен от нуля, то не существует рациональной функции, которая является отношением полинома степени к полиному степени и принимает значения в точках Следовательно, существует число верхний предел радиусов кругов, в которых функции мероморфны. Если числа и. ограничены по модулю сверху числом то необходимо, чтобы была ограничена снизу положительным числом Тогда будем иметь предел

§ 78.

Предположим теперь, что даны значения первых ее производных в точке Пусть

есть разложение числа: фиксированы. Если существует рациональная дробь, имеющая нулей и полюсов и обладающая подобным разложением в целый ряд, то коэфициенты

удовлетворяют линейным и однородным соотношениям из членов, начинающихся с коэфициента или В этих условиях детерминант

будет нуль. Если, следовательно, то существует число

ограничивающее радиусы кругов, в которых функции мероморфны. Если значения ограничены сверху числом то необходимо ограничить снизу положительным числом тогда существует число

§ 79.

Также получается детерминант соответствующий третьему случаю, когда даны значения и ее первых производных в фиксированных точках Два первые случая соответствуют частным значениям:

для последнего случая.

Теоремы последних параграфов составляют распространения на мероморфные функции, теоремы Ландау о голоморфных функциях, которые не принимают значений нуль и единица. Для приходим к предложениям уже известным. Для получается теорема Ландау.

Особенно простой частный случай будет, когда имеет произвольное фиксированное значение. Допустим, что фиксированы значения точках; для того, чтобы теорема была приложима, нужно, чтобы значения функции в этих точках были такие, чтобы не существовало рациональной дроби, числитель и знаменатель которой первой степени, т. е. линейной функции, принимающей в четырех данных точках данные значения. Для этого ангармонические отношения должны быть различны:

Предыдущие теоремы позволяют также разрешить различные проблемы, которые можно поставить по отношению к функциям Например, если известно только, что одно из уравнений: имеет одно меньше корней, другое меньше и третье меньше без указания, к какому из этих уравнений относятся числа то легко образовать условия неравенства и равенства, необходимые для существования То же самое будет, если известен только верхний предел суммы числа корней трех уравнений: