§ 68. Тождества Бореля (Borel)

Применяя теорему, которую мы только что установили, докажем невозможность некоторого тождества между функциями целыми или мероморфными. Мы знаем, что нет целых функций, для которых значения нуль и единица всегда порядков тип при условии;

Если существует такая целая функция то функции

значения которых определены в данной точке, будут целыми и будут удовлетворять тождеству:

Итак, невозможно найти две целые функции, удовлетворяющие этому тождеству, если

Положим:

где функции целые так же, как Следовательно, тождество

невозможно. Теорема Пикара соответствует случаю, когда тип конечны; заставляя в предыдущем равенстве тип стремиться к беско нечности, получим:

последнее тождество в силу теоремы Пикара невозможно. В 1896 г, Борель доказал невозможность этого тождества элементарным путем и дал таким образом элементарное доказательство теоремы Пикара. Интересно доказать также элементарным путем невозможность тождества:

Пусть теперь - функция, мероморфная во всей плоскости; допустим, что значения 0,1, оосуть исключительные значения соответственно порядков и пусть целая функция, имеющая нулями полюсы

функции Целая функция имеющая все свои нули порядка будет формы целая функция имеющая все свои нули порядка , будет формы будут целыми функциями. Итак имеем:

откуда, складывая, получаем:

Обратно, если такое тождество выполняется для трех целых функций, то можно написать:

левая часть представляет мероморфную функцию, для которой значения всегда порядков Предыдущее тождество было изучено Альфеном (Halphen); мы видели, что оно не может удовлетворяться целыми функциями, когда

Чтобы оно выполнялось для однозначных функций, нужно ввести функции, имеющие существенно особые точки на конечном расстоянии. Когда

то для существует конечное число решений в целых числах, которые вводятся в теории правильных многогранников. Для каждого такого решения тождество может удовлетворяться многочленами. Наконец, для каждого решения в целых числах уравнения:

можно удовлетворить тождеству, взяв за и эллиптические функции, — следовательно, функции, мероморфные во всей плоскости.