§ 64. Равностепенная непрерывность на сфере Римана.

Изучение семейств мероморфных функций можно свести к изучению непрерывных функций, введя, следуя Островскому 1), понятие сферического расстояния между двумя точками.

Примем за сферу Римана сферу радиуса единица, центр которой есть начало аффиксов плоскости и спроектируем ее стереографически из северного полюса на плоскость. Каждой точке соответствует точка на сфере; бесконечно удаленной точке соответствует полюс

Назовем сферическим расстоянием между двумя точками или между двумя числами длину кратчайшей дуги большого круга, который проходит через соответствующие точки на сфере. Две какие-нибудь точки плоскости, имеющие конечное или бесконечное расстояние, имеют вполне определенное сферическое расстояние; это расстояние равно нулю, когда две точки совпадают, и только в этом единственном случае. Никакое сферическое расстояние не превосходит Мы будем обозначать символом сферическое расстояние точек Имеем:ъ

а также:

если обозначают три комплексных числа конечных или бесконечных.

Пусть функция переменного определенная в области где она мсжуг быть и не аналитической. Можно определить сферическое колебание в области и сферическое колебание в точке заменяя расстояние сферическим расстояние Функция может принимать значение, равное бесконечности.

Мы говорим, что функция сферически непрерывна в точкеу если ее сферическое колебание в этой точке равно нулю. Мы говорим, что она сферически непрерывна в области, если она сферически непрерывна в каждой точке этой области. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее сферическое колебание было равно нулю в каждой точке внутри области. Функция, мероморфная в области, сферически непрерывна в этой области. Когда функция принимает только конечные значения, сферическая непрерывность будет непрерывностью в обычном

смысле этого слова и обратно. Когда функция принимает значения бесконечно большие, сферическая непрерывность выражает, что непрерывна в обычном смысле в точках, где она конечна, и что непрерывна в обычном смысле в точках, где бесконечна. -

Сферическое колебание семейства функций непрерывных на сфере, определяется так же, как в § 14 было определено обычное колебание. Семейство будет равностепенно непрерывно на сфере, если сферическое колебание — нуль в каждой точке. В этом случае каждому числу 8 соответствует положительное число 5 такое, что неравенство;

влечет неравенство:

какова бы ни была функция семейства. Обратно, из этого условия следует, что сферическое колебание в каждой точке равно нулю.

Мы говорим, что бесконечная последовательность сходится равномерно на сфере Римана к предельной функции для изменяющегося в области если всякому числу 8 соответствует целое число такое, что для имеем:

каково бы ни было в области полностью внутри Разумеется, условие Коши остается применимым и сходимость равномерна на сфере, если числу 8 соответствует число такое, что для имеем:

каково бы ни было целое число и точка

Если семейство функций равностепенно непрерывно на сфере, то всякая бесконечная последовательность, порождает подпоследовательность, равномерно сходящуюся на сфере, и обратно. Достаточно повторить доказательства § 14, заменяя плоские расстояния сферическими.

В частности, для того чтобы семейство функций, мероморфных в области было нормально в этой области, необходимо и достаточно, чтобы оно было равностепенно непрерывно на сфере.

Если семейство функций ненормально в области то существует в этой области не менее одной точки 7, вблизи которой семейство не будет нормально. Если функции мероморфны, то я утверждаю, что колебание в этой точке равно . В самом деле, в противном случае в этой точке колебание будет иметь значение меньшее Рассмотрим бесконечную последовательность функций семейства; можно выбрать подпоследовательность такую, что числа будут иметь предел конечный или бесконечный; проведем вокруг круг настолько малый, что в этом круге сферическое колебание семейства, а следовательно, и последовательности не будет превосходить

В этом круге будем иметь:

Возьмем настолько большим, чтобы

тогда будем иметь, если принадлежит

Так как можно взять настолько малым, чтобы было то видим, что точки сферы, соответствующие значениям, которые принимает когда лежит в круге не попадают в сферический сегмент. Функции образуют тогда нормальное семейство в а это противоречит допущению. Итак, колебание в точке равно

Рассмотрим точку вблизи которой семейство непрерывных функций не является нормальным и в которой сферическое колебаниие положительно. Следовательно, можно каждому целому числу заставить соответствовать функцию такую, что в круге с центром в и радиусом колебание этой фунции больше Так, определенная последовательность есть последовательность исключительная. Она содержит бесконечное множество различных функций потому, что функции семейства сферически непрерывны в точке Ни одна последовательность не может сходиться в круге с центром в как бы он ни был мал, потому что, начиная с некоторого номера, все функции имеют в этом круге колебание, большее Эта точка есть, следовательно, точка О, и видно, что множество точек 7, в которых колебание положительно, принадлежит множеству точек О для всего семейства сферически непрерывных функций. Только те точки 7, где колебание равно нулю, могут не быть точками О.

Для семейства мероморфных функций все точки суть точки О и множество иррегулярных точек совпадает со множеством точек, в которых сферическое колебание равно

Все предыдущие результаты, очевидно, приложимы к функциям которые остаются конечными в области и, в частности, к семействам голоморфных функций.

Теперь вернемся к прямому изучению нормальных семейств мероморфных функций.