§ 28. Функции Шварца.
Мы используем метод симметрии для определения и изучения функций Шварца (Schwarz). Эти функции будут определены внутри круга
радиус которого мы будем считать равным единице. Функции Шварца мероморфны внутри круга и имеют окружность естественной границей (coupure). Они удовлетворяют двум очень важным функциональным соотношениям, которые нами не будут использованы. Эти соотношения выражают, что функция принимает одни и те же значения во всех соответствующих точках некоторых четырехугольников, которые полностью покрывают весь круг
и стороны которых суть дуги окружностей, ортогональных
Прежде всего рассмотрим возможность покрытия всего круга
треугольниками, образованными дугами окружностей, ортогональных к
и изучим свойства этого замощения круга (pavage du cercle).
Предположим, что
есть треугольник
расположенный внутри
сторонами которого служат дуги окружностей, ортогональных к
и пусть
Углы этого треугольника, Я утверждаю, что
Дуги
В принадлежат двум окружностям, которые пересекаются в точке
точке С, симметричной точке С относительно
окружности
Инверсия относительно окружности, ертвговальной к
с центром в С переводит точку С в бесконечно удаленную точку, стороны
— в два прямолинейных отрезка
и ОВ, проходящие через центр О окружности
и дугу
в дугу
окружности, ортогональной к
(фиг. 9). Так как указанное преобразование переводит внутренность
в самое себя, то дуга
расположена внутри
следовательно, обращена выпуклостью к точке О. Преобразованный треугольник
или
имеет те же углы
что и треугольник
или
и так как сумма этих углов меньше суммы углов прямолинейного треугольника
то имеем, что
В этом рассуждении предполагалось, что треугольник
имеет по крайней мере одну вершину С внутри
Если же все три вершины
лежат на окружности, то все три угла треугольника — нули.
Фиг. 9.
Фиг. 10.
Обратно, если даны три угла
сумма которых меньше
и точка С внутри круга
то существует единственный ориентированный треугольник
стороны которого ортогональны к
углы которого суть
сторона которого, например
имеет данное направление. Для доказательства совершим снова инверсию с полюсом в точке С, симметричной точке С относительно
; это преобразование переводит точку С в точку О. Дуга
переходит в отрезок
луча
направление которого известно: он образует с
тот же угол, что
Мы приходим к построению треугольника
который имеет две прямолинейные стороны, лежащие на
Все треугольники такие, как
имеющие углы
получатся один из другого преобразованием подобия с центром в О: достаточно построить один из них
и провести окружность
с центром в О, ортогональную к его сторонам; преобразование подобия, которое переводит
в
преобразует точки
в точки
Чтобы построить вспомогательный треугольник
возьмем (фиг. 10) какую-нибудь окружность радиуса
Отложим на этой окружности дугу
длины
и проведем хорду
из точки
проведем прямую
которая образует с направлением
угол у; дуга
равна
дуга
середина которой есть точка
имеет длину