§ 27. Метод симметрии.

Пользуясь теоремой Пэнлеве, можно обосновать метод аналитического продолжения, называемый методом симметрии (nthode des images), который приложим к функциям, определенным первоначально в областях, границы которых содержат дуги окружности.

Рассмотрим сначала функцию определенную в области (фиг. 8), граница которой содержит отрезок действительной оси, голоморфную в этой области и принимающую на этом отрезке действительные значения. Пусть

есть функция, определенная в области симметричной области по отношению действительной оси, и принимающая в точке этой области значения, сопряженные значениям, принимаемым в точке области сопряженной с Функция есть функция аналитическая в области в самом деле, обозначая через приращение, видим, что число

сопряжено числу

при стремящемся к нулю, последнее имеет пределом следовательно, первое имеет пределом число сопряженное с

Функция голоморфна в она принимает на те же самые значения, что потому что эти значения действительны; следовательно, есть аналитическое продолжение в область Очевидно, что для получения этого продолжения достаточно придать функции в сопряженных точках сопряженные значения.

Этот результат может быть распространен на область граница которой содержит дугу окружности, помощью обобщения понятия симметрии. Именно, две точки, соответствующие друг другу, при инверсии относительно окружности, будем называть симметричными относительно этой окружности. Если прямую рассматривать как частный (предельный) случай окружности, то симметрия относительно прямой представится как частный (предельный) случай симметрии относительно окружности.

Фиг. 8.

Если две точки симметричны относительно окружности то точки симметричные им относительно окружности будут симметричны относительно окружности симметричной относительно В самом деле, инвэрсия относительно преобразует пучок окружностей, ортогональных к и проходящих через в пучок окружностей, проходящих через А и В: эти последние окружности ортогональны следовательно, А и симметричны относительно

Произведение двух инверсий есть линейное преобразование переменного в самом деле, пусть — аффикс точки, которая отвечает

точке после двух инверсий; точечное преобразование, которое переводит есть конформное преобразование; так как соответствие взаимно однозначное во всей плоскости то это — линейное соотношение между Тот же самый результат получаем для произведения четного числа инверсий. Обратно, всякое линейное преобразование можно, как известно, заменить произведением четного числа инверсий.

Пусть теперь дана функция голоморфная в области ограниченной контуром, который содержит дугу окружности плоскости и пусть принимает на этой дуге действительные значения. Существует линейное преобразование, которое преобразует область в область плоскости и дугу окружности — в отрезок действительной оси. Функция принимающая в точке то же самое значение, что в соответствующей точке 2, может быть продолжена помощью сопряженных значений. Возвращаясь к плоскости видим, что продолжение в область, симметричную области относительно окружности дуга которой принадлежит границе области можно получить, придавая в двух симметричных точках сопряженные значения.

Пусть теперь дана определенная в предыдущей области функция которая преобразует дугу принадлежащую границе области в плоскости в дугу окружности плоскости Некоторое линейное преобразование, выполненное над заменяет последнюю дугу отрезком действительной оси плоскости и приводит к предыдущему случаю. Два сопряженных значения соответствуют двум значениям симметричным относительно Итак, задавая в двух точках 2, симметричных относительно окружности два значения определяющие две точки, симметричные относительно мы выполним аналитическое продолжение функции