Приложение 7. Минимальный шум усилителя

Как было показано в разд. 11.3, из анализа, основанного на принципе неопределенности, следует, что любой линейный усилитель должен иметь шум. Рассуждения, приведенные ниже и распространенные на случай больших значений отношения сигнал—шум, приводят к выражению для минимальной величины спектральной плотности мощности шума на выходе усилителя. Оно включает в себя коэффициент усиления усилителя и квант энергии где частота сигнала,

Рис. П7.1. Усилитель с коэффициентом усиления по мощности и «идеальный» детектор.

На рис. П7.1 изображена полная усилительная система, состоящая из усилителя с коэффициентом усиления и детектора, включенного на его выходе. Последний является «идеальным» в том смысле, что он вносит неопределенности в измерения числа фотонов и фазы на предельном уровне, установленном принципом неопределенности

Для достижения наилучшей чувствительности неопределенности в измерениях числа фотонов и фазы сигнала на входе усилителя должны удовлетворять соотношению

Пусть обозначают среднеквадратичные значения флуктуаций числа фотонов и фазы на выходе усилителя. Сначала определим условие на произведение которое согласует детектор с усилителем.

Так как неопределенности, или шум, производимый усилителем и детектором, являются независимыми, неопределенность в измерении выходного сигнала может быть выражена следующим образом:

и

Вычисляя произведение этих двух величин, получаем

где

При вычислениях в уравнении использовалось условие Заметим, что, хотя произведение фиксировано, их отношение таким свойством не обладает. Условия согласования, упомянутые выше, достигаются тогда, когдаз принимает значение, для которого минимально. Из вида уравнения ясно, что как функция имеет минимум. При этом как следует из уравнения принимает значение 1/4. Дифференцируя уравнение по и приравнивая производную к нулю, находим, что минимум наступает значении

Таким образом, детектор и усилитель оказываются согласованными, когда равны относительные неопределенности в этих: двух приборах. Подставляя этот результат в уравнение получаем, что

Это и есть искомое оптимальное условие.

Уравнение является основой для определения минимальной мощности шума на выходе усилителя. Поскольку шум. имеет тепловую природу, будем предполагать, что он имеет двухстороннюю спектральную плотность которая распространяется равномерно на положительные и отрицательные частоты. Таким образом, полная мощность шума в интервале частот представляет собой сумму отрицательных и положительных частотных компонент, равных Конечная цель последующего анализа состоит в определении минимальной величины мощности шума в предположении, что уровень шума много меньше уровня гармонического выходного сигнала.

Пусть поле на выходе состоит из строго гармонической компоненты с амплитудой и угловой частотой и

компоненты теплового шума обусловленного усилителем, таким образом,

Как хорошо известно и легко доказывается, выражение, включающее гармонический член плюс шум, может быть переписано в следующем виде:

где - флуктуация фазы, - случайно изменяющаяся огибающая поля. Уравнения следует из записи

где две новые шумовые функции в правой части определяются соотношениями

Фаза и огибающая связаны с через уравнения

«з которых следует, что

где приближения справедливы, когда велико отношение сигнал — шум.

Из уравнения получаем выражение для спектральной плотности фазовых флуктуаций

где — спектральная плотность случайной величины Теперь непосредственно из уравнения следует, что

где спектральная плотность шума усилителя, которая, как уже было предположено, не зависит от частоты и имеет величину Если сопоставить два результата, указанных выше,

то можно получить значение среднего квадрата фазовых флуктуаций в частотном интервале Оно имеет вид

Таким образом, фазовые флуктуации выражены через мощность шума. Остается получить аналогичное выражение для флуктуаций числа фотонов

Вычислим флуктуации мощности огибающей сигнала. Определим их следующим образом:

Будем интересоваться автокорреляционной функцией

Ее можно вычислить, используя выражение для из уравнения

где члены, обозначенные многоточием, все тождественно равны: нулю. Поскольку предполагается, что уровень сигнала много выше уровня шума, первые два члена в правой части уравнения; незначительны по сравнению с третьим, и, следовательно,

где -автокорреляционная функция процесса теореме Винера — Хинчина находим спектральную плотность

где спектральная плотность Таким образом, получаем

Уравнение дает спектральную плотность флуктуаций энергии поля. Энергия шума в поле состоит из двух компонент, классической части, связанной с взаимодействием между волнами в поле, и «квантовой», вклад в которую обусловлен корпускулярным характером излучения. В пределе низких температур классический вклад стремится к нулю, а уровень квантового шума остается конечным. Он определяет минимальный уровень.

шума на выходе усилителя. На частоте сигнала энергия поля, содержащего фотонов, имеет вид

а следовательно, мощность квантового шума (определяемая среднеквадратичным отклонением энергии от среднего в интервале частот описывается выражением

Так как это выражение дает наименьшее возможное значение флуктуации энергии поля, должно быть положено равным чтобы определить минимальный уровень выходного шума

Используя уравнение и условие, выраженное в уравнении приходим окончательно к следующему выражению для минимальной энергии шума на выходе усилителя:

что и требовалось доказать.